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आपको चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of a Quadrilateral) निकालने का होमवर्क मिला है,... लेकिन चतुर्भुज क्या है आपको ये भी पता नहीं है। चिंता मत कीजिये ̶ ̶ मदद यहाँ है! चतुर्भुज चार भुजा की एक बंद आकृति होती है ̶ ̶ वर्ग, आयत, पतंगाकृति, इत्यादि इसके उदहारण हैं। चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पहले आपको चतुर्भुज का प्रकार पहचानना होगा और फिर सरल सूत्र का पालन कर के उस चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करनी होगी। बस इतनी सी बात है! (Find the Area of a Quadrilateral)
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समानांतर चतुर्भुज कैसे पहचानें: समानांतर चतुर्भुज एक चार भुजा वाली बंद आकृति होती है, जिनमें सम्मुख भुजाएं समानांतर तथा समान होती हैं। समानांतर चतुर्भुज में इनका समावेश होता है:
- वर्ग: चार भुजा; सभी समान लम्बाई की; चार कोण; सभी 90 अंश के (समकोण)।
- आयत: चार भुजा; सम्मुख भुजाएँ समान लम्बाई की; चार कोण, सभी 90 अंश।
- समचतुर्भुज: चार भुजा; सम्मुख भुजाएँ समान लम्बाई की; चार कोण , सम्मुख कोण समान परन्तु कोई कोण समकोण नहीं।
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आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आधार और ऊंचाई का गुणन कीजिये: एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको दो माप चाहिए: चौड़ाई या आधार (चतुर्भुज की लम्बी भुजा) तथा लम्बाई या ऊंचाई (चतुर्भुज की छोटी भुजा)। क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए इन दोनों भुजाओं का गुणा कीजिये। दुसरे शब्दों में:
- क्षेत्रफल(A) = आधार(b) × ऊंचाई(h), या A = b × h संक्षिप्त में।
- उदाहारण: यदि एक आयत के आधार की लम्बाई 10 सेमी है और उसकी ऊंचाई 5 सेमी है, तो आयत का क्षेत्रफल 10 × 5 (b × h) = 50 वर्ग सेमी.
- ध्यान रखें कि किसी आकृति का क्षेत्रफल प्राप्त करने पर आप वर्ग इकाई (वर्ग सेमी, वर्ग मीटर , वर्ग फीट, इत्यादि) का उपयोग करेंगे।
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वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय उसकी एक भुजा को उसी भुजा से गुणा कीजिये: वर्ग मूल रूप से एक विशेष आयत होता है, इसलिए आप वर्ग का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए वही सूत्र उपयोग करते हैं। चूँकि वर्ग की सभी भुजाओं की लम्बाई समान होती है, आप सुगमता से एक भुजा को उसी भुजा से गुणन कर के क्षेत्रफल प्राप्त कर सकते हैं। यह वर्ग के आधार को उसकी ऊंचाई से गुणा करने के समान ही है, क्योंकि वर्ग में ऊंचाई और आधार की लम्बाई हमेशा समान ही होती है:[१]
- क्षेत्रफल(A) = भुजा(s) × भुजा(s) या A = s2
- उदाहारण : यदि किसी वर्ग की एक भुजा की लम्बाई 4 फीट है, (t = 4), तो इस वर्ग का क्षेत्रफल t2, या 4 x 4 = 16 वर्ग फीट होगा।
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समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसके दोनों विकर्ण के गुणनफल को 2 से विभाजित कीजिये: इसका ध्यान दीजिये— समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय आप इसके दोनों विकर्ण (दोनों सम्मुख कोण को जोड़ने वाली रेखा) का गुणनफल प्राप्त कीजिये, फिर इसे 2 से विभाजित कीजिये। दुसरे शब्दों में: [२]
- क्षेत्रफल (A) = (विकर्ण 1× विकर्ण 2) /2 या A = (d1 × d2)/2
- उदाहरण: यदि एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाई क्रमशः 6 मीटर तथा 8 मीटर है, तो इसका क्षेत्रफल (6 x 8)/ 2 = 24 वर्ग मीटर होगा।
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विकल्पतः आधार × ऊंचाई का उपयोग कीजिये: तकनिकी तौर पर आप आधार और ऊंचाई के गुणनफल से भी समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते है। यहाँ "आधार" और "ऊंचाई" का यह मतलब नहीं है कि आप दो संलग्न भुजाओं का गुणा करेंगे। बल्कि, इसके लिए किसी एक भुजा को आधार चुनिए तथा इस भुजा से विपरीत भुजा पर एक रेखा खिचिये जो कि दोनों भुजा से 90 अंश पर हो। इस रेखा की लम्बाई समचतुर्भुज की ऊंचाई होगी।
- उदाहारण: एक समचतुर्भुज की भुजाएं 10 मीटर और 5 मीटर हैं। इन दोनों भुजाओं के बीच की सीधी लाइन दूरी 3 मीटर है। तो इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 10 × 3 = 30 वर्ग मीटर होगा।
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यह ध्यान रखिये की समचतुर्भुज और आयत के क्षेत्रफल का सूत्र वर्ग पर भी लागू होता है: मूलतः एक वर्ग, आयत तथा समचतुर्भुज दोनों होता है, इसलिए ऊपर दिए गए वर्ग के क्षेत्रफल के सूत्र के अलावा, आयत तथा समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्रों द्वारा भी वर्ग के क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है। दूसरे शब्दों में:
- क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई या A = b × h
- क्षेत्रफल = (विकर्ण 1 × विकर्ण 2)/2 या A = (d1 × d2)/2
- उदाहरण: एक चार भुजा वाली आकृति की दो संलग्न भुजाओं की लम्बाई 4 मीटर है। आप इस वर्ग का क्षेत्रफल आधार तथा ऊंचाई के गुणनफल से प्राप्त कर सकते हैं : 4 × 4 = 16 वर्ग मीटर।
- उदाहरण : एक वर्ग के दो समान विकर्णों की लम्बाई 10 सेमी है। आप इस वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण के सूत्र से प्राप्त कर सकते हैं: (10 × 10)/2 = 100/2 = 50 वर्ग सेमी.
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समलंब चतुर्भुज कैसे पहचानें: समलंब चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसकी कम से कम दो विपरीत भुजाएं एक दुसरे से समानांतर होती है। इसके सभी कोण तथा भुजाएं असमान हो सकती है।
- दी गयी जानकारी के आधार पर समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो तरीकों से ज्ञात किया जा सकता है, नीचे इसे प्राप्त करने की दोनों विधियां दी गयी है।
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समलंब चतुर्भुज की ऊंचाई ज्ञात कीजिये: समलंब चतुर्भुज की ऊंचाई इसकी किसी एक समानांतर भुजा से दूसरी भुजा पर खींची गयी लम्ब रेखा होती है। यह ऊंचाई आमतौर पर इसकी किसी भी भुजा से असमान होगी। आपको दोनों समलंब चतुर्भुज क्षेत्रफल सूत्रों के लिए इसकी ऊंचाई की आवश्यकता होगी। इस तरह समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:[३]
- सबसे छोटी आधार रेखा ज्ञात कीजिये (समानांतर भुजाएं): अपनी पेंसिल की नोंक इस आधार रेखा तथा इससे मिलने वाली एक असमानांतर भुजा के प्रतिच्छेदन बिंदु पर रखिये और इस बिंदु से एक लंब खींचिए। इस लंब रेखा पर दोनों समानांतर रेखा के मिलनेवाले बिन्दुओं के बीच की दूरी इस समलंब चतुर्भुज की ऊंचाई होगी, इसे माप लीजिये।
- ऊंचाई ज्ञात करने के लिए आप त्रिकोणमिति के सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि आधार तथा दूसरी भुजा एक समकोण बनाती है। ज्यादा जानकारी के लिए हमारे त्रिकोणमिति से संबंधित लेख पढ़ें।
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समलंब चतुर्भुज की ऊंचाई तथा आधार की लम्बाई द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये: यदि आपको समलंब चतुर्भुज की ऊंचाई तथा दोनों आधार की लम्बाई दी गयी है तो नीचे दिए गए समीकरण का उपयोग कीजिये:
- क्षेत्रफल = (आधार 1 + आधार 2)/2 × ऊंचाई या A = (a+b)/2 × h
- उदाहरण : यदि एक समलंब चतुर्भुज के एक आधार की लम्बाई 7 मीटर है तथा दुसरे आधार की लम्बाई 11 मीटर है, और इन दोनों आधार रेखाओं को जोडनेवाली लम्ब रेखा की लम्बाई 2 मीटर है तो इस समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं: (7 + 11)/2 × 2 = (18)/2 × 2 = 9 × 2 = 18 वर्ग मीटर।
- यदि ऊंचाई 10 सेमी हो और आधारों की लम्बाई 7 सेमी और 9 सेमी हो, तो आप क्षेत्रफल इस तरह प्राप्त कर सकते हैं: (7 + 9)/2 * 10 = (16/2) * 10 = 8 * 10 = 80
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समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए मध्यमा को दो से गुणा कीजिये: मध्यमा एक काल्पनिक रेखा होती है जो इसके समानांतर रेखाओं से गुजरती है तथा इनके समानांतर और दोनों तरफ से समान दुरी पर होती है। चूँकि यह मध्यमा हमेशा (आधार 1 + आधार 2)/2 के बराबर, यदि मध्यमा की लम्बाई पता हो तो समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसानी से ज्ञात कर सकते हैं:
- क्षेत्रफल = मध्यमा × ऊंचाई या A = m × h
- मूलतः, यह सूत्र मूल सूत्र की ही तरह है सिवाय इसके कि आप (a + b)/2 की जगह पर "m" का उपयोग करते हैं।
- 'उदाहरण:' यदि एक समलंब चतुर्भुज की मध्यमा की लम्बाई 9 मीटर हो, तो इसका मतलब है कि इस समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 9 × 2 = 18 वर्ग मीटर होगा।
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पतंगाकृति चतुर्भुज कैसे पहचानें: पतंगाकृति चतुर्भुज एक चार भुजाओं वाली बंद आकृति होती है जिसमे दो जोड़ी समान लम्बाई वाली भुजाएँ एक दूसरे से संलग्न होती हैं ना कि एक दूसरे से विपरीत। जैसा कि इसका नाम दर्शाता है यह दिखने में पतंग की ही तरह होती है।
- आप पतंगाकृति चतुर्भुज का क्षेत्रफल दी गयी जानकारी के आधार पर दो विभिन्न सूत्रों द्वारा प्राप्त कर सकते हैं। नीचे आप जानेंगे की किस प्रकार दी गयी जानकारी के आधार पर दोनों सूत्रों द्वारा पतंगाकृति चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाए।
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समचतुर्भुज के विकर्ण वाले सूत्र द्वारा पतंगाकृति चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: चूँकि समचतुर्भुज एक विशेष पतंगाकृति चतुर्भुज होता है जिसमे भुजाएं समान होती हैं, आप समचतुर्भुज –विकर्ण सूत्र द्वारा पतंगाकृति चतुर्भुज का क्षेत्रफल प्राप्त कर सकते हैं। पतंगाकृति चतुर्भुज के विकर्ण इसके विपरीत शीर्ष बिन्दुओं को मिलानेवाली सीधी रेखा होती है। समचतुर्भुज की तरह पतंगाकृति चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र है:
- क्षेत्रफल = (विकर्ण 1 × विकर्ण 2)/2 या A = (d1 × d2)/2
- उदाहरण: यदि एक पतंगाकृति चतुर्भुज के दोनों विकर्ण की लम्बाई क्रमशः 19 मीटर तथा 5 मीटर है, तो फिर इसका क्षेत्रफल (19 × 5)/2= 95/2 = 47.5 वर्ग मीटर होगा।
- यदि आपको विकर्णों की लम्बाई पता नहीं है तो आप त्रिकोणमिति द्वारा इनकी गणना कर सकते हैं। ज्यादा जानकारी के लिए हमारा पतंग संबंधित लेख देखें।
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भुजाओं की लम्बाई तथा उनमे समाविष्ट कोण की सहायता से क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये: यदि आपको दो भिन्न भुजाओं की लम्बाई तथा उनमे समाविष्ट कोण का माप ज्ञात है तो आप त्रिकोणमिति के सिद्धांत की सहायता से पतंगाकृति चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।[४] ज्यादा जानकारी के लिए हमारे त्रिकोणमिति से संबंधित लेख पढ़िए या नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग कीजिये:
- क्षेत्रफल = (भुजा 1 × भुजा 2) × sin (कोण) या A = (s1 × s2) × sin(θ) (जहाँ पर θ भुजा 1 तथा भुजा 2 के बीच समाविष्ट कोण है)।
- उदाहरण: आप के पास एक पतंग है जिसकी भुजाओं की लम्बाई 6 फीट तथा 4 फीट है, और उनमें समविष्ट कोण का माप 120 अंश है। इस स्थिति में आप क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार कर सकते हैं: (6 ×4) × sin(120) = 24 × 0.866 = 20.78 वर्ग फीट
- ध्यान रखें कि यहाँ पर दो भिन्न भुजाओं तथा उन्हीं में समाविष्ट कोण के माप की आवश्यकता है — समान लम्बाई वाली भुजाओं में इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता।
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चारो भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिये: क्या आपका चतुर्भुज उपर दिए गए किसी भी चतुर्भुज की श्रेणी में नहीं आता? (जैसे कि, इसकी सभी भुजाओं की लम्बाई भिन्न है तथा कोई भुजा समानांतर नहीं हैं) मानो या ना मानो, कुछ सूत्र हैं जिनसे आप किसी भी आकार के चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। इस भाग में सबसे सामान्य सूत्र का हम उपयोग करेंगे। ध्यान रखिये की इन सूत्रों में त्रिकोणमिति के ज्ञान की आवश्यकता है (ये त्रिकोणमिति के मूल निर्देश हैं)।
- सर्वप्रथम चतुर्भुज के सभी चारों भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिये। इस लेख में हम इन्हें a, b, c तथा d द्वारा दर्शाएँगे। भुजा a तथा c एक दूसरे के विपरीत है और भुजा b तथा d एक दूसरे से विपरीत है।
- उदाहरण: यदि आपके पास विचित्र आकृति का चतुर्भुज है जो ऊपर बताये गए किसी चतुर्भुज की श्रेणी में नहीं आता, तो पहले इसकी चारों भुजाओं की लम्बाई ज्ञात करें। मान लीजिये कि इनकी लम्बाई 12, 9, 5 और 14 सेमी हैं। नीचे दिए गए चरण में आप इस जानकारी का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
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a तथा d और b तथा c भुजाओं में समविष्ट कोण ज्ञात कीजिये: यदि आपको अपरिभाषित चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है तो सिर्फ भुजाओं की लम्बाई से इसे ज्ञात नहीं किया जा सकता। इसके लिए दो विपरीत कोण के माप का पता लगाना होगा। इस कार्य के लिए हम भुजा a तथा d के बीच में स्थित कोण को कोण A कहेंगे, और भुजा b तथा भुजा c के बीच में स्थित कोण को कोण C कहेंगे। आप चाहें तो इसी तरह आप दूसरे विपरीत कोणों की जोड़ी भी चुन सकते हैं।
- उदाहरण: यदि दिए गए चतुर्भुज में, A का माप 80 अंश है और C का माप 110 अंश है। अगले चरण में क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए आप इन मूल्यों का उपयोग करेंगे।
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त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र से चतुर्भुज का क्षेत्रफल प्राप्त करें: कल्पना करें कि शीर्षबिंदु A तथा शीर्षबिन्दु C से एक रेखा गुजर रही है। यह रेखा चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करेगी। चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल absinC है, जहाँ C भुजा a तथा b में समविष्ट कोण है, चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप इस सूत्र का दो बार उपयोग कर सकते हैं (दो काल्पनिक त्रिभुजों के लिए):
- क्षेत्रफल = 0.5 भुजा 1 × भुजा 4 × sin(भुजा 1&4 कोण) +0.5 × भुजा 2 × भुजा 3 × sin(भुजा 2&3 कोण) या
- क्षेत्रफल = 0.5 a × d × sin A + 0.5 × b × c × sinC
- उदाहरण: आपके पास भुजा और कोण की जानकारी दी गयी है, तो हल करें: = 0.5 (12 × 14) × sin (80) + 0.5 × (9 × 5) × sin (110)= 84 × sin (80) + 22.5 × sin (110)= 84 × 0.984 + 22.5 × 0.939= 82.66 + 21.13 = 103.79 square inches
- ध्यान दीजिये, यदि आप समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर रहें है जिसमे विपरीत कोण सर्वांगसम है तो यह समीकरण होगा क्षेत्रफल= 0.5*(ad + bc) * sinA.
सलाह
- यह त्रिभुज कैलकुलेटर ऊपर दिए गए "किसी भी चतुर्भुज" की गणना के लिए आसानी से उपयोग में लाया जा सकता है।[५]
- ज्यादा जानकारी के लिए, हमारे आकृति-विशिष्ठ लेख देखें: कैसे आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें, कैसे एक रॉम्बस के क्षेत्रफल का पता लगाएँ
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