अध्याय 5. समान्तर श्रेढ़ी
प्रश्नावली 5.3
Q1. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, . . ., 10 पदों तक
(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक
Solution:
(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक
a = –37, d = –33 – (–37) = –33 + 37 = 4, n = 12
Solution:
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक
a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100,
Q2. नीचे दिए हुए योग्फालों को ज्ञात कीजिये:
(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10
(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)
Solution:
(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10
Solution:
a = 34, d = 32 – 34 = -2, an = 10
an = a + (n -1)d
10 = 34 + (n – 1)-2
10 – 34 = (n – 1)-2
-24 = (n – 1)-2
(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)
Solution:
a = –5, d = (–8) – (–5) = –8 + 5 = –3, an = –230
an = a + (n -1)d
–230 = –5 + (n – 1)–3
–230 + 5 = (n – 1) –3
–225= (n – 1)–3
Q3. एक A.P. में,
(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है । n और Sn ज्ञात कीजिए ।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है । d और S13 ज्ञात कीजिए ।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है । a और S12 ज्ञात कीजिए ।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है । d और a10 ज्ञात कीजिए ।
प्रतिस्थापन विधि से समीकरण (i) और (ii) का हल करने पर
समीकरण (i) से
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है । a और a9 ज्ञात कीजिए ।
हल : d = 5 और S9 = 75 दिया है
S9 = 75
(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है । n और an ज्ञात कीजिए ।
हल : a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है ।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है । n और d ज्ञात कीजिए ।
अत: n = 6 और d = 54/5 है |
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = –14 दिया है । n और a ज्ञात कीजिए ।
=> n = 7 और n = - 2 (Not Applicable क्योंकि n हमेशा धनात्मक होता है)
अत: n = 7
n = 7 का मान (i) में रखने पर
a = 6 - 2n ............... (i)
a = 6 - 2(7)
a = 6 - 14
a = - 8
अत: n = 7 और a = - 8 है |
(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है । d ज्ञात कीजिए ।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं । a ज्ञात कीजिए ।
Q4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P. : 9, 17, 25 ........... के कितने पद लेने चाहिए ?
हल : दिया है : A.P. : 9, 17, 25 ...........
a = 9, d = 17 - 9 = 8, Sn = 636 और n = ?
अब, Sn = 636
Q5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल : दिया है : a = 5, an = 45 और Sn = 400
अब, an = 45
Q6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
हल : a1 = 17, an = 350 और d = 9
अब, an = 350
Q7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल : दिया है : a22 = 149 d = 7 और n = 22
a22 = a + 21 d
149 = a + 21×7
149 = a + 147
a = 149 - 147
a = 2
Q8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल : दिया है :
a2 = 14
=> a + d = 14 ............ (i)
a3 = 18
d = a3 - a2
= 18 - 14
= 4
d का मान समीकरण (i) में रखने पर
Q9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Q10. दर्शाइए कि a1, a2, . . ., an, . . . से एक A.P. बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:
(i) an = 3 + 4n (ii) an = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Q11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S1 ) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।
हल : प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है
Sn = 4n – n2 ............ (i)
n की जगह n - 1 रखने पर
Sn-1 = 4(n -1) – (n - 1)2
= 4n - 4 – (n2 - 2n + 1)
= 4n - 4 – n2 + 2n - 1
= – n2 + 6n - 5 ............... (ii)
अत: n वाँ पद (an) = Sn - Sn-1
=> (an) = Sn - Sn-1
=> (an) = 4n – n2 - (– n2 + 6n - 5)
=> (an) = 4n – n2 + n2 - 6n + 5
=> (an) = - 2n + 5
अब, S1 = 4(1) – (1)2 = 4 - 1 = 3
प्रथम दो पदों का योग (S2) = 4(2) – (2)2 = 8 - 4 = 4
(an) = - 2n + 5
दूसरा पद (a2) = - 2(2) + 5 = - 4 + 5 = 1
तीसरा पद (a3) = - 2(3) + 5 = - 6 + 5 = -1
10 वाँ पद (a10) = - 2(10) + 5 = - 20 + 5 = -15
Q12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
Q13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
Q14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Q15. निर्माण कार्य से सम्बन्धी किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधन इस प्रकार है: पहले दिन के लिए 200 रु, दूसरे दिन के लिए 250 रु, तीसरे दिन के लिए 300 रु इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है ?
Q16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
Q17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदुषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोंचा । यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा । उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग एक पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा ही कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा । प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं । इस विद्यालय के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?
हल :
कक्षा 1 से 12 तक प्रत्येक अनुभाग इस प्रकार पेड़ लगाता है ।
अत: 1, 2, 3, 4, ...................... 12
चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग है ।
अत: अब प्रत्येक कक्षा द्वारा लगाए गए पेड़ हो जायेंगे ।
इसलिए, 3(1), 3(2), 3(3), 3(4) ......................... 3(12)
या 3, 6, 9, 12, ....................... 36
a = 3, d = 3 और n = 12
कुल पेड़ों की संख्या = S12
Q18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm .... वाले उत्तरोत्तर अर्धवृतों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है | तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ?
हल : दिया है अर्धवृतों की लम्बाईयाँ l1, l2, l3, l4 क्रमश: इत्यादि अर्धवृत्त हैं ।
Q19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति )। ये 200 लठ्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
Q20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति) । प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
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