इस लेख में हम, परिमेय संख्या की परिभाषा, परिमेय संख्या के गुणधर्म , सूत्र, उदाहरण,परिमेय संख्या का मानक रूप, तुल्य परिमेय संख्याएँ तथा अभ्यास 1 ( a ) का सम्पूर्ण हल pdf के साथ भली प्रकार से समझाया है l
- परिमेय संख्या किसे कहते हैं /
parimey sankhya kise kahate hai ,( What is Rational numbers in hindi ) :
- परिमेय संख्या की परिभाषा ( Rational Numbers Definition )
- परिमेय संख्या का उदाहरण :
- परिमेय संख्या के गुणधर्म:(Property of rational numbers in hindi)
- परिमेय संख्याओं के प्रगुण :
- समतुल्य या तुल्य परिमेय संख्या :
- परिमेय संख्याओं का सरलतम रूप ( सूत्र ) :
- परिमेय संख्या के प्रकार :
- धनात्मक परिमेय संख्याएँ :
- ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ :
- शून्य परिमेय संख्या :
- FAQ ( महत्वपूर्ण प्रश्न ) :
- Q.- क्या 0 परिमेय संख्या है ?
- Q.- परिमेय संख्या किसे कहते हैं ?
- Q. – तुल्य परिमेय संख्या किसे कहते हैं ?
- Q.- सबसे छोटी परिमेय संख्या कौन सी है
- Q.-परिमेय संख्या का उदाहरण क्या है ?
- Q.- परिमेय संख्या कितने प्रकार की होती है ?
- Q.- परिमेय और अपरिमेय संख्या को कैसे पहचानें ?
- Q.- भिन्न और परिमेय संख्या में क्या अंतर है ?
- अभ्यास 1 ( a )
- अभ्यास -1 सम्पूर्ण हल pdf :
- अन्य पढ़ें :
परिमेय संख्या किसे कहते हैं / parimey sankhya kise kahate hai ,( What is Rational numbers in hindi ) :
ऐसी सभी संख्याएँ जिन्हें p / q के रूप में लिखा जा सके और p तथा q दोनों पूर्णांक हों लेकिन q = 0 नहीं हो परिमेय संख्या कहलाती हैं l
p शून्य हो सकता है l
जैसे 5 / 7, -2 / 5, 0 / 3 …….आदि l
परिमेय संख्या की परिभाषा ( Rational Numbers Definition )
एक परिमेय संख्या को एक ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे p / q के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0
p को अंश तथा q को हर कहते हैं l
परिमेय संख्या का उदाहरण :
1 / 5, -3 / 7 , 0 / 1 , 21 / 5 ………….आदि
परिमेय संख्या के गुणधर्म:(Property of rational numbers in hindi)
परिमेय संख्या के निम्नलिखित गुणधर्म हैं –
- सभी भिन्नें परिमेय संख्याएँ हैं l
- 0 एक परिमेय संख्या है, संख्या शून्य न तो धनात्मक परिमेय संख्या है , न ही ऋणात्मक परिमेय संख्या है l
- परिमेय संख्याओं में पूर्णांक और भिन्न सम्मिलित होते हैं l
- सभी परिमेय संख्याएँ भिन्न नहीं होती हैं , परन्तु प्रत्येक भिन्न परिमेय संख्या होती है l
- एक पूर्णांक को विभिन्न परिमेय संख्याओं के रूप में लिख सकते हैं l
- सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ होती हैं l
- किसी परिमेय संख्या के अंश तथा हर में एक ही शून्येतर पूर्णांक से गुणा करके समतुल्य परिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं l
- किसी परिमेय संख्या के अंश तथा हर में पूर्णांक शून्य से गुणा करने पर उसके समतुल्य परिमेय संख्या नहीं प्राप्त होती है l जैसे , 2 /3 के अंश तथा हर में शून्य से गुणा करने पर 0 / 0 प्राप्त होता है , जो परिमेय संख्या नहीं है , क्योकि इसका हर शून्य है l
परिमेय संख्याओं के प्रगुण :
समतुल्य या तुल्य परिमेय संख्या :
किसी दी हुई परिमेय संख्या के समतुल्य परिमेय संख्या प्राप्त करने के लिए , एक ही संख्या से अंश तथा हर में गुणा कर देते हैं l
जैसे –
1 / 2 के अंश तथा हर में क्रमशः
2, 3, 4 से गुणा करने पर –
1 / 2 = 2 / 4 = 3 / 6 = 4 / 8
= 5 / 10 = …..,समतुल्य भिन्नें हैं l
इसी प्राकार –
4 / 5 की समतुल्य भिन्नें = 4 / 5
= 8 / 10 = 12 / 15 = 16 / 20
= 20 / 25 …..आदि होंगीं l
2 / 3 की समतुल्य भिन्नें = 4 / 6
= 6 / 9 = 8 / 12 =……… आदि होगीं l
किसी भी परिमेय संख्या के समतुल्य अनन्त परिमेय संख्याएँ लिखी जा सकती हैं l
परिमेय संख्याओं का सरलतम रूप ( सूत्र ) :
किसी दी हुई परिमेय संख्या का सरलतम रूप प्राप्त करने के लिए परिमेय संख्या के अंश तथा हर में अंश और हर के म. स. से भाग देते हैं l भाग देने के बाद प्राप्त भागफल ही दी हुई परिमेय संख्या का सरलतम रूप होता है l
नोट : परिमेय संख्या के सरलतम रूप में अंश तथा हर का म. स. 1 होता है अर्थात अंश और हर सह – अभाज्य होते हैं तथा हर सदैव धनात्मक पूर्णांक होता है l
- परिमेय संख्या का सरलतम रूप ही उसका मानक रूप कहलाता है l
परिमेय संख्या के प्रकार :
परिमेय संख्या तीन प्रकार की होती हैं l
1.- धनात्मक परिमेय संख्या
2.- ऋणात्मक परिमेय संख्या
3.- शून्य परिमेय संख्या
धनात्मक परिमेय संख्याएँ :
ऐसी सभी परिमेय संख्याएँ जिनके अंश और हर दोनों का चिन्ह समान होता है धनात्मक परिमेय संख्या कहलाती हैं l
जैसे 3 / 5 , – 7 / -12 , 15 / 17 , -2 / -3 आदि l आप देख सकते हैं कि इन परिमेय संख्याओं के अंश तथा हर के चिन्ह सामान हैं l
ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ :
ऐसी सभी परिमेय संख्याएँ जिनका या तो अंश ऋणात्मक हो या हर ऋणात्मक हो ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं l
अर्थात ऋणात्मक परिमेय संख्याओं में अंश और हर का चिन्ह एक समान कभी नहीं हो सकता है l
जैसे -7 / 9 , 15 / – 35 ,
-2 / 3 ………..आदि l
शून्य परिमेय संख्या :
नोट : शून्य एक ऐसा परिमेय संख्या है जिसका चिन्ह न तो ऋणात्मक है और न ही धनात्मक है l
शून्य एक ऐसा परिमेय संख्या है जिसका अंश सदैव 0 ( शून्य ) होता है लेकिन हर या तो प्राकृतिक संख्या होगा या तो पूर्णांक होगा l
FAQ ( महत्वपूर्ण प्रश्न ) :
Q.- क्या 0 परिमेय संख्या है ?
Ans. – हाँ , 0 एक परिमेय संख्या है
Q.- परिमेय संख्या किसे कहते हैं ?
Ans. -एक परिमेय संख्या को एक ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे p / q के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0
Q. – तुल्य परिमेय संख्या किसे कहते हैं ?
Ans.- किसी दी हुई परिमेय संख्या के समतुल्य परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए , एक ही संख्या से अंश तथा हर में गुणा कर देते हैं l इस प्रकार प्राप्त परिमेय संख्याएँ तुल्य परिमेय संख्या कहलाती हैं l
Q.- सबसे छोटी परिमेय संख्या कौन सी है
Ans. – कोई भी परिमेय संख्या सबसे छोटी नहीं है l
Q.-परिमेय संख्या का उदाहरण क्या है ?
Ans.- परिमेय संख्या का उदाहरण , 3/4 , 5/7 , 0/1, -2/5 ,……आदि l
Q.- परिमेय संख्या कितने प्रकार की होती है ?
Ans.- परिमेय संख्या तीन प्रकार की होती है , ऋणात्मक परिमेय संख्या , शून्य परिमेय संख्या , धनात्मक परिमेय संख्या
Q.- परिमेय और अपरिमेय संख्या को कैसे पहचानें ?
Ans.- परिमेय संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है और अपरिमेय संख्या को p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता है l
Q.- भिन्न और परिमेय संख्या में क्या अंतर है ?
Ans. – भिन्न का अंश और हर दोनों धनात्मक होता है जबकी परिमेय संख्या का अंश या हर ऋणात्मक हो सकता है l
अभ्यास 1 ( a )
Q.-1: निम्नांकित पूर्णांकों को परिमेय संख्याओं के रूप में लिखिए , जिनका हर 1 हो –
-7, 11, 27, -45, 71
Ans.
-7 / 1,
11 / 1,
27 / 1,
-45 / 1,
71 / 1
Q. – 2: -4 / 5 को ऐसी परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त कीजिए , जिसका अंश है –
( क ) 8 ( ख ) -16
( ग ) 20 ( घ ) -24
Ans. ( क ) -4 / 5
= ( -4 X -2 ) / ( 5 X -2 )
[ अंश तथा हर में -2 से गुणा करने पर ]
= 8 / -10 Ans.
( ख ) -4 / 5
= ( -4 X 4 ) / ( 5 X 4 )
[ अंश तथा हर में 4 से गुणा करने पर ]
= -16 / 20 Ans.
( ग ) -4 / 5
= ( -4 X -5 ) / ( 5 X -5 )
[ अंश तथा हर में -5 से गुणा करने पर ]
= 20 / -25 Ans.
( घ ) -4 / 5
= ( -4 X 6 ) / ( 5 X 6 )
[ अंश तथा हर में 6 से गुणा करने पर ]
= -24 / 30 Ans.
Q. – 3: –5 / -7को ऐसी परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त कीजिए , जिसका हर है –
( क ) 7 ( ख ) -14
( ग ) 21 ( घ ) -35
Ans. ( क ) -5 / -7
= ( -5 X -1 ) / ( -7 X -1 )
[ अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
= 5 / 7 Ans.
( ख ) -5 / -7
= ( -5 X 2 ) / ( -7 X 2 )
[ अंश तथा हर में 2 से गुणा करने पर ]
= -10 / – 14 Ans.
( ग ) -5 / -7
= ( -5 X -3 ) / ( -7 X -3 )
[ अंश तथा हर में -3 से गुणा करने पर ]
= 15 / 21 Ans.
( घ ) – 5 / – 7
= ( – 5 X 5 ) / ( -7 X 5 )
[ अंश तथा हर में 5 से गुणा करने पर ]
= -25 / – 35 Ans.
Q. – 4: निम्नांकित परिमेय संख्या के हर को धनात्मक बनाइए –
( क ) -9 / -11
( ख ) 11 / -17
( ग ) – 4 / – 19
( घ ) 7 / – 13
Ans. ( क )-9 / -11
= ( -9 X -1 ) / ( -11 X -1 )
[ अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
= 9 / 11 Ans.
( ख )11 / – 17
= ( 11 X –1 ) / ( -17 X -1 )
[ अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
= -11 / 17 Ans.
( ग ) -4 / -19
= ( -4 X -1 ) / ( -19 X -1 )
[ अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
= 4 / 19 Ans.
( घ ) 7 / – 13
= ( 7 X -1 ) / ( -13 X -1 ) [ अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
= -7 / 13 Ans.
Q. – 5: निम्नांकित परिमेय संख्या के अंश
को धन पूर्णांक बनाइए –
( क ) – 7 / 13 ( ख ) -11 / – 19
( ग ) -18 / 23 ( घ ) -19 / – 23
A.-( क ) -7 / 13
= ( -7 X -1 ) / ( 13 X -1 )
[ अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
= 7 / -13 Ans.
( ख ) -11 / -19
= ( -11 X -1 ) / ( -19 X -1 )
[ अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
= 11 / 19 Ans.
( ग ) -18 / 23
= ( -18 X -1 ) / ( 23 X -1 )
[ अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
= 18 / -23 Ans.
( घ )-19 / -23
= ( -19 X -1 ) / ( -23 X -1 )
[ अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
= 19 / 23 Ans.
Q. – 6: निम्नांकित संख्याओं में कौन – सी
परिमेय संख्याएँ धनात्मक हैं ?
( क ) – 9 / -13
( ख ) 11 / – 19
( ग ) -7 / – 23
( घ ) 8 / – 13
Ans.
( क ) धनात्मक परिमेय संख्या ( – 9 / – 13 )
( ग ) धनात्मक परिमेय संख्या ( – 7 / – 23 )
Q. – 7: निम्नांकित संख्याओं में कौन –कौन सी परिमेय संख्याएँ ऋणात्मक हैं ?
( क ) – 7 / 11 ( ख ) -6 / – 13
( ग ) 8 / – 35 ( घ ) – 21 / – 23
Ans.
( क )ऋणात्मक परिमेय संख्या ( -7 / 11 )
( ग ) ऋणात्मक परिमेय संख्या ( 8 / – 35 )
Q. – 8: निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को सरलतम रूप में लिखिए –
( क ) – 9 / 21
( ख ) -18 / – 27
( ग ) 21 / – 36
( घ ) -36 / 64
Ans. ( क ) -9 / 21
= ( -3 X 3 ) / ( 7 X 3 )
[ अंश तथा हर का म.स. 3 है ]
= – 3 / 7 Ans.
[ अंश तथा हर में 3 से भाग देने पर ]
( ख ) -18 / -27
= ( -2 X 9 ) / ( -3 X 9 )
[ अंश तथा हर का म.स. 9 है ]
= -2 / -3
[अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
( ग ) 21 / -36
= ( 7 X 3 ) / ( -12 X 3 )
[ अंश तथा हर का म.स. 3 है ]
= 7 / – 12
= – 7 / 12 Ans.
[ हर को धनात्मक बनाने के लिए अंश तथा हर में -1 से गुणा करने पर ]
( घ ) -36 / 64
= ( -9 X 4 ) / ( 16 X 4 )
= – 9 / 16 Ans.
[ अंश तथा हर में 4 से भाग देने पर ]
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