ऐसा चतुर्भुज जिसके चारों अन्तःकोण समकोण (= 90° के) हों उसे आयत (Rectangle) कहते हैं। आयत एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी आमने सामने की भुजाएं समांतर होती है, "आयत" कहलाता है।
- आयत की आमने सामने की भुजाएं समान होती है
- आयत की चारो भुजाएँ समांतर होती हैं।
- आयत के दोनों विकर्ण समान होते है।
- आयत के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
- आयत के अंतः कोण समकोण (90°) होते है।
आयत का क्षेत्रफल का सूत्र[संपादित करें]
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई
चारों भुजाओं के योग को परिमाप कहते हैं।
आयत की परिमाप = 2×(लंबाई +चौड़ाई )आयत से सम्बन्धित सूत्रभुजाएँa,b{\displaystyle a,\;b}क्षेत्रफलA×bपरिमापU=2⋅a+2⋅b=2⋅(a+b){\displaystyle U\,=\,2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)}विकर्ण की लम्बाईa2+b2{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}परिवृत्त की त्रिज्याr=12⋅a2+b2{\displaystyle r\,=\,{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}अन्यथा, हम कह सकते हैं कि एक चतुर्भुज एक बहुभुज के रूप में एक ज्यामितीय आकृति है, जिसमें केवल चार कोने होते हैं। कोई भी वस्तु या उपकरण जिसकी आकृति इस प्रकार होती है उसे चतुर्भुज भी कहा जा सकता है। एक चतुर्भुज की दो भुजाएँ जो एक दूसरे से सटी नहीं होती हैं, सम्मुख भुजाएँ कहलाती हैं। दो कोने और दो शीर्ष जो आसन्न नहीं हैं, विपरीत कहलाते हैं।
एक चतुर्भुज को एक समांतर चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि इसकी विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर हों।
परिभाषा
वर्गएक समांतर चतुर्भुज है जिसमें चारों भुजाएँ बराबर होती हैं और चारों कोण समकोण होते हैं।
आयतएक समांतर चतुर्भुज है जिसमें विपरीत भुजाएँ जो एक दूसरे के समानांतर होती हैं समान होती हैं और सभी कोण समकोण होते हैं।
तुलना
एक वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी चार आंतरिक कोण समकोण होते हैं। एक वर्ग की चारों भुजाएँ समान होती हैं, अर्थात् उनकी लंबाई समान होती है।
एक आयत को एक समांतर चतुर्भुज कहा जाता है, जिसके आंतरिक कोण समकोण होते हैं, और केवल विपरीत भुजाएँ जो एक दूसरे के समानांतर होती हैं, समान होती हैं।
आयत और वर्ग में निम्नलिखित गुण होते हैं:
- सभी कोण सही हैं;
- विकर्ण बराबर हैं;
- चौराहे के बिंदु पर, विकर्ण आधे में विभाजित होते हैं;
- विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर और लंबाई में बराबर होती हैं।
आयतएक चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक कोना एक समकोण है।
प्रमाण
संपत्ति को समांतर चतुर्भुज के फीचर 3 की क्रिया द्वारा समझाया गया है (यानी \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
AB = CD,\enspace BC = AD
3. सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।
एबी \समानांतर सीडी,\एनस्पेस बीसी \समांतर एडी
4. आसन्न भुजाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।
एसी = बीडी
प्रमाण
इसके अनुसार संपत्ति 1आयत एक समांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है AB = CD।
इसलिए, दो पैरों के अनुदिश \triangle ABD = \triangle DCA (AB = CD और AD - जोड़)।
यदि दोनों आकृतियाँ - ABC और DCA समरूप हैं, तो उनके कर्ण BD और AC भी समरूप हैं।
तो एसी = बीडी।
सभी आकृतियों का केवल एक आयत (केवल समांतर चतुर्भुजों से!) समान विकर्ण होते हैं।
आइए इसे भी साबित करें।
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है \Rightarrow AB = CD , AC = BD शर्त के अनुसार। \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCAपहले से ही तीन तरफ।
यह पता चलता है कि \कोण ए = \कोण डी (एक समांतर चतुर्भुज के कोनों की तरह)। और \angle A = \angle C , \angle B = \angle D ।
हम यह अनुमान लगाते हैं कि \कोण ए = \कोण बी = \कोण सी = \कोण डी. वे सभी 90^(\circ) हैं। कुल 360^(\circ) है।
सिद्ध किया हुआ!
6. विकर्ण का वर्ग उसकी दो आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यह गुण पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर मान्य है।
एसी^2=एडी^2+सीडी^2
7. विकर्ण आयत को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें समद्विभाजित करता है।
एओ = बीओ = सीओ = डीओ
9. विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु आयत का केंद्र और परिबद्ध वृत्त है।
10. सभी कोणों का योग 360 डिग्री होता है।
\कोण एबीसी + \कोण बीसीडी + \कोण सीडीए + \कोण डीएबी = 360^(\circ)
11. आयत के सभी कोने सही हैं।
\कोण एबीसी = \कोण बीसीडी = \कोण सीडीए = \कोण डीएबी = 90^(\circ)
12. आयत के चारों ओर परिबद्ध वृत्त का व्यास आयत के विकर्ण के बराबर है।
13. एक आयत के चारों ओर हमेशा एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
यह गुण इस तथ्य के कारण मान्य है कि एक आयत के विपरीत कोनों का योग होता है 180^(\circ)
\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)
14. एक आयत में एक खुदा हुआ वृत्त हो सकता है और केवल एक यदि उसकी भुजाओं की लंबाई समान हो (यह एक वर्ग है)।
वर्गसमान भुजाओं और कोणों वाला एक चतुर्भुज है।
वर्ग विकर्णएक रेखाखंड है जो इसके दो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।
समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और आयत भी वर्गाकार होते हैं यदि उनके समकोण, समान भुजा की लंबाई और विकर्ण हों।
वर्ग गुण
1. एक वर्ग की भुजाओं की लंबाई बराबर होती है।
एबी = बीसी = सीडी = डीए
2. वर्ग के सभी कोने सही हैं।
\कोण एबीसी = \कोण बीसीडी = \कोण सीडीए = \कोण डीएबी = 90^(\circ)
3. एक वर्ग की सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के समांतर होती हैं।
AB\समानांतर सीडी, BC\समानांतर AD
4. एक वर्ग के सभी कोणों का योग 360 डिग्री होता है।
\कोण एबीसी + \कोण बीसीडी + \कोण सीडीए + \कोण डीएबी = 360^(\circ)
5. विकर्ण और भुजा के बीच का कोण 45 डिग्री है।
\कोण बीएसी = \कोण बीसीए = \कोण सीएडी = \कोण एसीडी = 45^(\सर्कल)
प्रमाण
वर्ग एक समचतुर्भुज है \Rightarrow AC कोण A का समद्विभाजक है, और यह 45^(\circ) के बराबर है। फिर AC \angle A , और \angle C को 45^(\circ) के 2 कोणों में विभाजित करता है।
6. वर्ग के विकर्ण समरूप, लंबवत हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित हैं।
एओ = बीओ = सीओ = डीओ
\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^(\circ)
एसी = बीडी
प्रमाण
चूँकि एक वर्ग एक आयत है \Rightarrow विकर्ण बराबर होते हैं; चूँकि - समचतुर्भुज \Rightarrow विकर्ण लंबवत होते हैं। और चूंकि यह एक समांतर चतुर्भुज है, \Rightarrow विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।
7. प्रत्येक विकर्ण वर्ग को दो समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।
\त्रिकोण एबीडी = \त्रिकोण सीबीडी = \त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एसीडी
8. दोनों विकर्ण वर्ग को 4 समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD
9. यदि वर्ग की भुजा a है, तो विकर्ण एक \sqrt(2) होगा।
पूर्वावलोकन:
बोबीलेवा मरीना विटालिएवना
समझौता ज्ञापन "माध्यमिक विद्यालय संख्या 51", सेराटोव
गणित
ग्रेड 2
आयत। वर्ग।
नई सामग्री की खोज में एक सबक।
टीआरसीएम में सबक
विषय: आयत। वर्ग।
लक्ष्य:
शैक्षिक: एक आयत और एक वर्ग के बच्चों के ज्ञान को अद्यतन और सुव्यवस्थित करने के लिए, "आयत" और "वर्ग" की अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए, एक आयत के मूल गुणों की पहचान करने के लिए, उन्हें आवश्यक गुणों के आधार पर उन्हें पहचानना सिखाने के लिए,
आयत बनाने और इन आकृतियों की परिधि की गणना करने के कौशल के निर्माण पर काम करना जारी रखें।
विकसित होना: आलोचनात्मक सोच विकसित करना, समस्याग्रस्त प्रश्न पूछने की क्षमता, परिकल्पनाओं को सामने रखना, विश्लेषण और तुलना करना, प्राप्त आंकड़ों को सामान्य बनाना और निष्कर्ष निकालना; छात्रों की मौखिक भाषा का विकास करना।
शैक्षिक: गणित में संज्ञानात्मक रुचि के निर्माण के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ।
उपकरण:
इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड, कंप्यूटर, प्रोजेक्टर,
पाठ्यपुस्तक "गणित" ग्रेड 2 एलजी पीटरसन,
मानसिक गणना के लिए कार्ड (ज्यामितीय आंकड़े), जिस पर गणितीय अभिव्यक्ति लिखी गई है,
कट ज्यामितीय आकृतियों का सेट,
स्वागत के लिए वैकल्पिक परीक्षण तालिका "सही और गलत कथन"
चेहरे के रूप में सिग्नल कार्ड "मूड" - एक स्माइली
1. संगठन। पल।
शिक्षक:
मैं आपके चेहरों, आपकी आंखों को फिर से देखकर खुश हूं। और मुझे लगता है कि आज का पाठ हम सभी को एक दूसरे के साथ संवाद करने की खुशी लाएगा।
आप हमारे आज के पाठ को कैसे देखना चाहेंगे? आप किस मूड से शुरू करते हैं? "बीप" मुझे, कृपया। (बच्चे एक कार्ड उठाते हैं - "मूड" चेहरे के रूप में)।
2. कॉल चरण। ज्ञान अद्यतन।
शिक्षक:
आज हम फिर से "ज्यामिति" के आकर्षक देश के माध्यम से एक यात्रा पर निकल पड़े। और हमारा दोस्त हमारी मदद करेगा। और कौन, आप टास्क को पूरा करके पता लगा लेंगे। (स्लाइड 1)
ए) एक कार्य प्रकट होता है (संख्याएं ज्यामितीय आकृतियों के अंदर लिखी जाती हैं)
10 …. 20 25 …. …. 40 …. 50 …. 60
कोई कार्य सुझाइए, यहाँ क्या किया जा सकता है?
(बच्चे पैटर्न की पहचान करने और छूटे हुए नंबर डालने की पेशकश करते हैं)
संख्याओं को लिखने में आप किस पैटर्न का पालन करते हैं? (5 के बाद गिनें)
पंक्ति को पुनर्स्थापित करें।
छात्र लापता नंबरों का नाम देते हैं।
बोर्ड पर एक रिकॉर्ड दिखाई देता है, ज्यामितीय आकृतियों के अंदर की संख्याएँ) (sl 2)
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
यदि उत्तर सही है, तो संख्याओं के नीचे अक्षर दिखाई देते हैं (क्रमांक 3)
15 30 35 45 55
दूरसंचार विभाग
डॉट किस देश में रहता है?
बच्चे:
यह गणित है (ज्यामिति)
शिक्षक
आपको क्या लगता है, पाठ का कौन सा विषय बिंदु हमें प्रदान करता है?
बच्चे
मुझे लगता है कि हम ज्यामितीय आकृतियों के बारे में बात करेंगे। (चूंकि सभी संख्याएँ ज्यामितीय आकृतियों में लिखी जाती हैं)
बी) जोड़े में काम करें। खेल "तस्वीर लीजिए" (पंक्तियों में)
(प्रत्येक डेस्क में एक ज्यामितीय आकृति होती है जिस पर गणितीय वाक्य लिखा होता है। दो के लिए एक कार्य)
हम क्या करें? किसने अनुमान लगाया?
बच्चे:
एक व्यंजक लिखें, उसे लिखें और मान की गणना करें।
1 पंक्ति 2 पंक्ति 3 पंक्ति
50-7+22= 54+13-9= 60-6+13=
70-8+36= 80-24+6= 38+12-9=
76-23+42= 17+33-25= 84-34-18=
95-32-5= 98-18-15= 6+64-8=
53+7-28= 13+6+31= 33-23+78=
उत्तर:
65, 98, 95,58,32 58, 62, 25, 65, 50 67, 41, 32, 62, 88
बोर्ड पर 3 वर्ग हैं, जो एक आकृति में विभाजित हैं, जिसके अंदर संख्याएँ लिखी हैं - जो उत्तर बच्चों को मिले)
शिक्षक
चित्र लीजिए।
बच्चे बोर्ड पर जाते हैं और अपने स्थान के उत्तर के साथ आकृति संलग्न करते हैं।
उन आकृतियों के नाम लिखिए जिनसे चित्र बनता है।
बच्चे। (सभी आंकड़ों को नाम दें)
ये त्रिभुज और चतुर्भुज हैं।
शिक्षक।
बहुत अच्छा।
डेस्क पर आंकड़ों का एक सेट है। यह उस सेट से मेल खाती है जिसे बोर्ड पर बच्चों द्वारा हाइलाइट किया जाता है।
अपना असाइनमेंट सबमिट करें।
बच्चे।
त्रिकोण और चतुर्भुज में विभाजित करें। (जोड़े में डेस्क पर प्रदर्शन)
शिक्षक।
चतुर्भुजों के लिए एक कार्य सुझाइए।
बच्चे।
मुझे लगता है कि उन्हें समूहों में विभाजित किया जा सकता है।
मैं आयतों और गैर-आयतों में विभाजित करने का सुझाव देता हूं।
(2 बच्चे ब्लैकबोर्ड पर काम करते हैं)
आत्म परीक्षण।
शिक्षक।
अपने आप का परीक्षण करें।
आपने क्या नोटिस किया?
बच्चे।
मैंने देखा कि एक समूह में आयत और वर्ग थे।
शिक्षक।
क्यों?
बच्चे।
क्योंकि सभी आकृतियों में समकोण होते हैं।
शिक्षक।
पाठ का विषय तैयार करें।
बच्चे।
हम आयतों और वर्गों के बारे में बात करेंगे।
3. समझ का चरण। नए ज्ञान की खोज।
ए) रिसेप्शन "सच्चे और गलत बयान"
शिक्षक।
आपके डेस्क पर कागज की चादरें हैं, जिस पर एक टेबल खींची गई है, जैसे मेरे ब्लैकबोर्ड पर।
संख्याएँ प्रश्नों की संख्या दर्शाती हैं। मैंने आपको ऐसे प्रश्न पढ़े हैं जो "क्या आप ऐसा मानते हैं ..." शब्दों से शुरू होते हैं।
आप जोड़ियों में चर्चा करते हैं। यदि आप विश्वास करते हैं, तो दूसरी पंक्ति में "+" चिह्न लगाएं, यदि नहीं, तो "-"।
बच्चे टेबल को पूरा करते हैं।
शिक्षक।
क्या हमने सभी प्रश्नों के सही उत्तर दिए हैं, यह हमें पाठ के नए विषय का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने के बाद पता चलेगा।
बी) आंखों के लिए नेत्र संबंधी व्यायाम।
ग) एक आयत और एक वर्ग की परिभाषाओं की व्युत्पत्ति।
शिक्षक।
इन आंकड़ों को एक सामान्य नाम दें। (बोर्ड पर आंकड़े)
बच्चे।
मुझे लगता है कि वे आयत हैं, क्योंकि उनके पास सभी समकोण हैं।
शिक्षक।
एक आयत क्या है?
बच्चे।
एक आयत एक आकृति है जिसमें सभी समकोण होते हैं।
शिक्षक।
पाठ्यपुस्तक p.50 खोलें और सुनिश्चित करें कि आपके निर्णय सटीक हैं।
बच्चे (पढ़ना)
सभी समकोण वाले चतुर्भुज को आयत कहा जाता है।
शिक्षक।
हमारे अतिथि - डॉट ने आपकी अवलोकन की शक्तियों का परीक्षण करने का निर्णय लिया।
फिर से आयतों का विश्लेषण करें।
आपने किस विशेषता पर ध्यान दिया?
बच्चे।
कुछ आयतों की सभी भुजाएँ समान होती हैं (एक रूलर से मापी जा सकती हैं)
शिक्षक।
क्या किसी को पता है कि इन आंकड़ों को क्या कहा जाता है?
बच्चे।
वर्ग।
शिक्षक।
एक वर्ग क्या है, यदि आप पाठ्यपुस्तक p.50 पढ़ेंगे तो आप स्वयं ही सीख जाएंगे।
शिक्षक।
आपने वर्ग के बारे में क्या सीखा?
बच्चे।
मैंने सीखा कि एक वर्ग एक विशेष आयत है।
मेरा मतलब है, एक वर्ग के सभी पक्ष बराबर होते हैं।
बच्चों द्वारा नियमों के समापन के दौरान, अवधारणाएं धीरे-धीरे बोर्ड पर दिखाई देती हैं (एसएल 4) - एक योजना बनाई जाती है
चतुष्कोष
घ) एक आयत और एक वर्ग के आवश्यक लक्षणों की व्युत्पत्ति।
शिक्षक।
इन आंकड़ों में क्या समानता है?
बच्चे।
ये आयताकार हैं। (अगले 5 में दिखाई देता है)
चतुष्कोष
आयत
शिक्षक।
इन आंकड़ों में क्या अंतर है?
बच्चे।
मुझे लगता है कि एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं।
लेकिन आयत अलग है।
शिक्षक।
पाठ्यपुस्तक पृष्ठ संख्या 50 हमें इसका पता लगाने में मदद करेगी (पढ़ें)
आपने क्या नया सीखा?
बच्चे।
मैंने सीखा कि एक आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। लंबी भुजा को आयत की लंबाई कहते हैं।
और मैंने सीखा कि छोटी भुजा को चौड़ाई कहा जाता है।
बोर्ड पर एक आरेख बनाया गया है (sl 6)
चतुष्कोष
आयत
वर्ग
लंबाई
साइड की चौड़ाई बराबर है
ई) मैं स्व-परीक्षा के साथ स्वतंत्र रूप से काम करता हूं।
शिक्षक।
मैं कार्य संख्या 5 को पूरा करने और आपके ज्ञान का परीक्षण करने का प्रस्ताव करता हूं।
कार्य संख्या 5 (ए)
एक आयत खींचिए जो 6 सेमी लंबा और 2 सेमी कम चौड़ा हो।
इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
बोर्ड पर एक छात्र, स्वतंत्र रूप से प्रदर्शन करें।
इंतिहान।
फेसला।
एक)। 6-2=4(सेमी)-आयताकार चौड़ाई
2))। 6+6+4+4=20(सेमी) - परिधि।
शिक्षक।
एक ही परिधि के साथ लंबाई और चौड़ाई को बदलते हुए एक आयत बनाने की कोशिश करें।
(समाधान विकल्प 7cm और 3cm, 8cm और 2cm, 9cm और 1cm, वर्ग 5cm)
आपसी सत्यापन।
(बच्चे अपने विकल्पों का नाम देते हैं)
शिक्षक।
आपने किस ज्ञान का उपयोग किया?
बच्चे।
मुझे याद आया कि परिधि का पता कैसे लगाया जाता है।
और मुझे याद आया कि एक वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
ई) भौतिक। मिनट।
छ) जो सीखा गया है उसकी पुनरावृत्ति। प्रश्नों को लौटें।
शिक्षक।
आइए अब अपने प्रश्नों पर वापस जाएं, उनका दोबारा उत्तर दें और जांचें कि क्या आप अपनी धारणाओं में गलत थे।
मैंने फिर से प्रश्न पढ़े। तीसरी पंक्ति में आप वांछित चिन्ह लगाते हैं।
(अभिनय करना)
1. क्या आप मानते हैं कि एक आयत के सभी कोण समकोण होते हैं।
2. क्या आप मानते हैं कि कोई भी आयत एक वर्ग होता है।
3. क्या आप मानते हैं कि एक आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
4. क्या आप मानते हैं कि वर्ग एक आयत होता है।
5. क्या आप मानते हैं कि एक वर्ग में सभी कोण समकोण होते हैं।
6. क्या आप मानते हैं कि एक वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
शिक्षक।
आप किन मुद्दों पर सहमत हैं?
समझाइए क्यों?
क्या मुद्दे बदल गए हैं?
क्यों?
4. प्रतिबिंब।
आज के पाठ का विषय क्या था?
आपने क्या नया सीखा? (बच्चों का नाम उनके लिए नया क्या था)
तुम्हे क्या पसंद है?
आपको किन कठिनाइयों का सामना करना पड़ा?
क्या आपको लगता है कि हम आयतों के बारे में पहले ही सब कुछ सीख चुके हैं?
बिलकूल नही। भविष्य में, हम गणित और ज्यामिति के पाठों में इन दिलचस्प आंकड़ों के बारे में बहुत कुछ सीखेंगे। लेकिन वह बाद में होगा।
इस बीच, हमारा पाठ समाप्त होता है, हमारा अतिथि बिंदु है और मुझे वास्तव में पसंद आया कि आपने आज पाठ में कैसे काम किया।
ग्रेडिंग।
शिक्षक।
आप पाठ को कैसे समाप्त करते हैं? "बीप" मुझे, कृपया। (बच्चे एक कार्ड उठाते हैं - "मूड" चेहरे के रूप में)।