समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होने के लिए क्या जरूरी है? - samaantar chaturbhuj ek samachaturbhuj hone ke lie kya jarooree hai?

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समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग (2019)

1. समांतर चतुर्भुज

यौगिक शब्द "समांतर चतुर्भुज"? और इसके पीछे एक बहुत ही सिंपल फिगर है।

खैर, यानी हमने दो समानांतर रेखाएँ लीं:

दो और से पार:

और अंदर - एक समांतर चतुर्भुज!

समांतर चतुर्भुज के गुण क्या हैं?

समांतर चतुर्भुज गुण।

अर्थात् यदि समस्या में समांतर चतुर्भुज दिया जाए तो क्या उपयोग किया जा सकता है?

इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है:

आइए सब कुछ विस्तार से ड्रा करें।

क्या करता है प्रमेय का पहला बिंदु? और तथ्य यह है कि यदि आपके पास समांतर चतुर्भुज है, तो हर तरह से

दूसरे पैराग्राफ का अर्थ है कि यदि कोई समांतर चतुर्भुज है, तो, फिर से, हर तरह से:

ठीक है, और अंत में, तीसरे बिंदु का अर्थ है कि यदि आपके पास एक समांतर चतुर्भुज है, तो सुनिश्चित करें:

देखें कि पसंद का धन क्या है? कार्य में क्या उपयोग करें? कार्य के प्रश्न पर ध्यान केंद्रित करने का प्रयास करें, या बदले में सब कुछ करने का प्रयास करें - किसी प्रकार की "कुंजी" करेगी।

और अब आइए खुद से एक और सवाल पूछें: "चेहरे में" समांतर चतुर्भुज को कैसे पहचानें? एक चतुर्भुज का क्या होना चाहिए ताकि हम उसे समांतर चतुर्भुज का "शीर्षक" देने का अधिकार प्राप्त कर सकें?

इस प्रश्न का उत्तर समांतर चतुर्भुज के कई संकेतों द्वारा दिया गया है।

समांतर चतुर्भुज की विशेषताएं।

ध्यान! शुरू करना।

समांतर चतुर्भुज।

ध्यान दें: यदि आपने अपनी समस्या में कम से कम एक चिन्ह पाया है, तो आपके पास बिल्कुल समांतर चतुर्भुज है, और आप समांतर चतुर्भुज के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।

2. आयत

मुझे नहीं लगता कि यह आपके लिए बिल्कुल भी खबर होगी।

पहला प्रश्न है: क्या एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है?

निश्चित रूप से यह है! आखिर उसके पास है - याद है, हमारा साइन 3?

और यहाँ से, निश्चित रूप से, यह इस प्रकार है कि एक आयत के लिए, जैसे कि किसी भी समांतर चतुर्भुज के लिए, और, और विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।

लेकिन एक आयत और एक विशिष्ट गुण है।

आयत संपत्ति

यह संपत्ति विशिष्ट क्यों है? क्योंकि किसी अन्य समांतर चतुर्भुज में समान विकर्ण नहीं होते हैं। आइए इसे और स्पष्ट रूप से तैयार करें।

ध्यान दें: एक आयत बनने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज बनना चाहिए, और फिर विकर्णों की समानता को प्रस्तुत करना चाहिए।

3. हीरा

और फिर प्रश्न यह है कि: क्या एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?

पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें और (हमारा चिन्ह 2 याद रखें)।

और फिर, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज के विपरीत कोण समान होते हैं, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, और विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

समचतुर्भुज गुण

तस्वीर पर देखो:

जैसा कि एक आयत के मामले में, ये गुण विशिष्ट होते हैं, अर्थात इनमें से प्रत्येक गुण के लिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे पास केवल एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, बल्कि एक समचतुर्भुज है।

एक समचतुर्भुज के लक्षण

और फिर से ध्यान दें: केवल लंबवत विकर्णों वाला एक चतुर्भुज नहीं होना चाहिए, बल्कि एक समांतर चतुर्भुज होना चाहिए। सुनिश्चित करें:

नहीं, बिल्कुल नहीं, हालांकि इसके विकर्ण और लंबवत हैं, और विकर्ण u कोणों का समद्विभाजक है। लेकिन ... विकर्ण विभाजित नहीं होते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में है, इसलिए - एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, और इसलिए एक समचतुर्भुज नहीं है।

यानी एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। देखते हैं इससे क्या निकलता है।

क्या यह स्पष्ट है क्यों? - समचतुर्भुज - कोण A का समद्विभाजक, जो किसके बराबर होता है। तो यह (और भी) दो कोणों में विभाजित करता है।

खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है: आयत के विकर्ण बराबर हैं; समचतुर्भुज विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर - समांतर चतुर्भुज विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।

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चतुर्भुज के गुण। चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज गुण

ध्यान! शब्द " समांतर चतुर्भुज गुण» का अर्थ है कि यदि आपके पास कोई कार्य है वहाँ हैसमांतर चतुर्भुज, तो निम्नलिखित में से सभी का उपयोग किया जा सकता है।

समांतर चतुर्भुज के गुणों पर प्रमेय।

किसी भी समांतर चतुर्भुज में:

आइए देखें कि यह सच क्यों है, दूसरे शब्दों में हम साबित करेंगेप्रमेय

तो 1) सच क्यों है?

चूँकि यह एक समांतर चतुर्भुज है, तो:

• क्रॉसवाइज झूठ बोलने की तरह
• के रूप में पड़ा हुआ है।

इसलिए, (द्वितीय आधार पर: और - सामान्य।)

खैर, एक बार - बस! - साबित।

लेकिन वैसे! हमने 2 भी साबित किया)!

क्यों? लेकिन आखिरकार (तस्वीर को देखें), यानी, क्योंकि।

सिर्फ 3 बचे है)।

ऐसा करने के लिए, आपको अभी भी एक दूसरा विकर्ण खींचना होगा।

और अब हम देखते हैं कि - II चिन्ह के अनुसार (कोण और भुजा "उनके बीच")।

गुण सिद्ध! आइए संकेतों पर चलते हैं।

समांतर चतुर्भुज विशेषताएं

याद रखें कि समांतर चतुर्भुज का चिन्ह "कैसे पता करें?" प्रश्न का उत्तर देता है कि यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

आइकन में यह इस तरह है:

क्यों? यह समझना अच्छा होगा कि क्यों - बस इतना ही। लेकिन देखो:

खैर, हमें पता चला कि साइन 1 सच क्यों है।

खैर, यह और भी आसान है! आइए फिर से एक विकर्ण खींचते हैं।

मतलब:

औरआसान भी है। लेकिन... अलग!

माध्यम, । बहुत खूब! लेकिन यह भी - आंतरिक एकतरफा एक सेकंड में!

इसलिए तथ्य यह है कि इसका मतलब है।

और अगर आप दूसरी तरफ से देखें, तो वे आंतरिक एक तरफा एक सेकेंट पर हैं! और इसीलिए।

देखो यह कितना अच्छा है ?!

और फिर बस:

बिल्कुल वैसा ही, और।

ध्यान दें:अगर आपको मिल गया कम से कमआपकी समस्या में समांतर चतुर्भुज का एक चिन्ह है, तो आपके पास है बिल्कुलसमांतर चतुर्भुज और आप उपयोग कर सकते हैं हर कोईएक समांतर चतुर्भुज के गुण।

पूरी स्पष्टता के लिए, आरेख को देखें:

चतुर्भुज के गुण। आयत।

आयत गुण:

बिंदु 1) बिल्कुल स्पष्ट है - आखिरकार, संकेत 3 () बस पूरा हो गया है

और बिंदु 2) - बहोत महत्वपूर्ण. तो चलिए साबित करते हैं कि

तो, दो पैरों पर (और - सामान्य)।

चूँकि त्रिभुज बराबर होते हैं, तो उनके कर्ण भी बराबर होते हैं।

साबित कर दिया!

और कल्पना कीजिए, विकर्णों की समानता सभी समांतर चतुर्भुजों के बीच एक आयत का एक विशिष्ट गुण है। अर्थात् निम्नलिखित कथन सत्य है

आइए देखें क्यों?

तो, (अर्थात् समांतर चतुर्भुज के कोण)। लेकिन एक बार फिर याद रखें कि - एक समांतर चतुर्भुज, और इसलिए।

माध्यम, । और, ज़ाहिर है, इससे यह पता चलता है कि उनमें से प्रत्येक आखिर उन्हें कितनी राशि देनी चाहिए!

यहाँ हमने सिद्ध किया है कि यदि समानांतर चतुर्भुजअचानक (!) बराबर विकर्ण होंगे, तो यह बिल्कुल एक आयत.

लेकिन! ध्यान दें!यह इस बारे में है समानांतर चतुर्भुज! कोई भी नहींसमान विकर्णों वाला एक चतुर्भुज एक आयत होता है, और केवलसमांतर चतुर्भुज!

चतुर्भुज के गुण। विषमकोण

और फिर से सवाल यह है: एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?

पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें और (हमारा चिन्ह 2 याद रखें)।

और फिर, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज के विपरीत कोण समान होते हैं, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, और विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

लेकिन विशेष गुण भी हैं। हम तैयार करते हैं।

समचतुर्भुज गुण

क्यों? ठीक है, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसके विकर्ण आधे में विभाजित होते हैं।

क्यों? हाँ, इसीलिए!

दूसरे शब्दों में, विकर्ण और समचतुर्भुज के कोनों के समद्विभाजक निकले।

जैसा कि एक आयत के मामले में, ये गुण हैं विशेष, उनमें से प्रत्येक एक समचतुर्भुज का चिन्ह भी है।

समचतुर्भुज चिन्ह।

ऐसा क्यों है? और देखो

इसलिए, और दोनोंये त्रिभुज समद्विबाहु हैं।

एक समचतुर्भुज होने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज "बनना" चाहिए, और फिर पहले से ही फीचर 1 या फीचर 2 को प्रदर्शित करना चाहिए।

चतुर्भुज के गुण। वर्ग

यानी एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। देखते हैं इससे क्या निकलता है।

क्या यह स्पष्ट है क्यों? वर्ग - समचतुर्भुज - कोण का समद्विभाजक, जिसके बराबर होता है। तो यह (और भी) दो कोणों में विभाजित करता है।

खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है: आयत के विकर्ण बराबर हैं; समचतुर्भुज विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर - समांतर चतुर्भुज विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।

क्यों? ठीक है, बस पाइथागोरस प्रमेय को लागू करें।

सारांश और बुनियादी सूत्र

समांतर चतुर्भुज गुण:

1. सम्मुख भुजाएँ समान हैं : , ।
2. विपरीत कोण हैं: , .
3. एक तरफ के कोणों का योग: , .
4. विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा आधे में विभाजित किया जाता है: .

आयत गुण:

1. एक आयत के विकर्ण हैं: .
2. आयत एक समांतर चतुर्भुज है (एक आयत के लिए समांतर चतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं)।

समचतुर्भुज गुण:

1. समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं: .
2. एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं: ; ; ; .
3. एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (एक समचतुर्भुज के लिए समांतर चतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं)।

वर्ग गुण:

एक वर्ग एक ही समय में एक समचतुर्भुज और एक आयत है, इसलिए, एक वर्ग के लिए, एक आयत और एक समचतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं। साथ ही।

एक उत्तल चतुर्भुज एक आकृति है जिसमें चार भुजाएँ एक-दूसरे से शीर्ष पर जुड़ी होती हैं, जो भुजाओं के साथ चार कोण बनाती हैं, जबकि चतुर्भुज हमेशा सीधी रेखा के सापेक्ष उसी तल में होता है जिस पर उसका एक पक्ष स्थित होता है। दूसरे शब्दों में, पूरी आकृति इसके किसी भी पक्ष के एक तरफ है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिभाषा को याद रखना काफी आसान है।

मूल गुण और प्रकार

चार कोनों और भुजाओं से बनी लगभग सभी आकृतियों को उत्तल चतुर्भुजों के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। निम्नलिखित को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

1. समांतर चतुर्भुज;
2. वर्ग;
3. आयत;
4. समलंब;
5. समचतुर्भुज

ये सभी आंकड़े न केवल इस तथ्य से एकजुट हैं कि वे चतुष्कोणीय हैं, बल्कि इस तथ्य से भी कि वे उत्तल भी हैं। बस आरेख को देखें:

चित्र एक उत्तल समलम्ब को दर्शाता है. यहां आप देख सकते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज एक ही तल पर या खंड के एक तरफ है। यदि आप इसी तरह की कार्रवाई करते हैं, तो आप पता लगा सकते हैं कि अन्य सभी पक्षों के मामले में, समलम्बाकार उत्तल है।

क्या एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है?

ऊपर एक समांतर चतुर्भुज की एक छवि है। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, समांतर चतुर्भुज भी उत्तल है. यदि आप उन रेखाओं के संबंध में आकृति को देखें जिन पर खंड AB, BC, CD और AD स्थित हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि यह हमेशा इन रेखाओं से एक ही तल पर होता है। एक समांतर चतुर्भुज की मुख्य विशेषताएं यह हैं कि इसकी भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर और उसी तरह समान होती हैं जैसे विपरीत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

अब, एक वर्ग या आयत की कल्पना करें। उनके मुख्य गुणों के अनुसार, वे समांतर चतुर्भुज भी हैं, अर्थात्, उनके सभी पक्षों को समानांतर में जोड़े में व्यवस्थित किया जाता है। केवल एक आयत के मामले में, पक्षों की लंबाई भिन्न हो सकती है, और कोण सही (90 डिग्री के बराबर) होते हैं, एक वर्ग एक आयत होता है जिसमें सभी पक्ष समान होते हैं और कोण भी सही होते हैं, जबकि लंबाई एक समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ और कोण भिन्न हो सकते हैं।

परिणामस्वरूप, चतुर्भुज के चारों कोनों का योग 360 डिग्री के बराबर होना चाहिए. इसे निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका एक आयत है: आयत के चारों कोने सही हैं, यानी 90 डिग्री के बराबर। इन 90-डिग्री कोणों का योग 360 डिग्री देता है, दूसरे शब्दों में, यदि आप 90 डिग्री 4 बार जोड़ते हैं, तो आपको वांछित परिणाम मिलता है।

उत्तल चतुर्भुज के विकर्णों का गुण

एक उत्तल चतुर्भुज प्रतिच्छेद के विकर्ण. वास्तव में, इस घटना को नेत्रहीन रूप से देखा जा सकता है, बस आकृति को देखें:

बाईं ओर की आकृति एक गैर-उत्तल चतुर्भुज या चतुर्भुज दिखाती है। जैसी आपकी इच्छा। जैसा कि आप देख सकते हैं, विकर्ण प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, कम से कम उनमें से सभी नहीं। दाईं ओर एक उत्तल चतुर्भुज है। यहाँ विकर्णों से प्रतिच्छेद करने का गुण पहले ही देखा जा चुका है। समान गुण को चतुर्भुज की उत्तलता का संकेत माना जा सकता है।

चतुर्भुज के उत्तलता के अन्य गुण और चिन्ह

विशेष रूप से, इस शब्द के अनुसार, किसी विशिष्ट गुण और विशेषताओं को नाम देना बहुत कठिन है। इस प्रकार के विभिन्न प्रकार के चतुर्भुजों के अनुसार पृथक करना आसान होता है। आप एक समांतर चतुर्भुज से शुरू कर सकते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि यह एक चतुर्भुज आकृति है, जिसकी भुजाएँ जोड़ी में समानांतर और समान हैं। इसी समय, समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करने की संपत्ति, साथ ही साथ आकृति की उत्तलता का संकेत भी यहां शामिल है: समांतर चतुर्भुज हमेशा एक ही विमान में और एक तरफ सापेक्ष होता है इसके किसी भी पक्ष में।

इसलिए, मुख्य विशेषताएं और गुण ज्ञात हैं:

1. एक चतुर्भुज के कोणों का योग 360 डिग्री होता है;
2. आकृतियों के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

आयत. इस आकृति में समांतर चतुर्भुज के समान सभी गुण और विशेषताएं हैं, लेकिन इसके सभी कोण 90 डिग्री के बराबर हैं। इसलिए नाम, आयत।

वर्ग, वही समांतर चतुर्भुज, लेकिन इसके कोने एक आयत की तरह सही हैं। इस वजह से, एक वर्ग को शायद ही कभी आयत कहा जाता है। लेकिन पहले से ही ऊपर सूचीबद्ध लोगों के अलावा, एक वर्ग की मुख्य विशिष्ट विशेषता यह है कि इसकी चारों भुजाएँ समान हैं।

समलम्ब चतुर्भुज एक बहुत ही रोचक आकृति है।. यह एक चतुर्भुज भी है और उत्तल भी। इस लेख में, एक ड्राइंग के उदाहरण का उपयोग करके ट्रेपेज़ॉइड पर पहले ही विचार किया जा चुका है। यह स्पष्ट है कि वह उत्तल भी है। मुख्य अंतर, और, तदनुसार, एक ट्रेपोजॉइड का संकेत यह है कि इसके पक्ष लंबाई में एक दूसरे के बराबर नहीं हो सकते हैं, साथ ही साथ इसके कोण भी मूल्य में हो सकते हैं। इस मामले में, किसी भी सीधी रेखा के संबंध में आकृति हमेशा एक ही तल पर रहती है जो आकृति बनाने वाले खंडों के साथ इसके किन्हीं दो शीर्षों को जोड़ती है।

समचतुर्भुज एक समान रूप से दिलचस्प आकृति है. आंशिक रूप से एक समचतुर्भुज को एक वर्ग माना जा सकता है। एक समचतुर्भुज का संकेत यह तथ्य है कि इसके विकर्ण न केवल प्रतिच्छेद करते हैं, बल्कि समचतुर्भुज के कोनों को भी आधे में विभाजित करते हैं, और विकर्ण स्वयं समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात वे लंबवत हैं। यदि समचतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई समान हो, तो प्रतिच्छेदन पर विकर्णों को भी आधे में विभाजित किया जाता है।

Deltoids या उत्तल rhomboids (rhombuses)अलग-अलग तरफ की लंबाई हो सकती है। लेकिन एक ही समय में, रोम्बस के मुख्य गुण और विशेषताएं और उत्तलता की विशेषताएं और गुण दोनों अभी भी संरक्षित हैं। अर्थात्, हम देख सकते हैं कि विकर्ण कोनों को समद्विभाजित करते हैं और समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

आज का कार्य यह विचार करना और समझना था कि उत्तल चतुर्भुज क्या हैं, वे क्या हैं और उनकी मुख्य विशेषताएं और गुण क्या हैं। ध्यान! यह एक बार फिर याद करने योग्य है कि उत्तल चतुर्भुज के कोणों का योग 360 डिग्री होता है। उदाहरण के लिए, आंकड़ों की परिधि आकृति बनाने वाले सभी खंडों की लंबाई के योग के बराबर होती है। निम्नलिखित लेखों में चतुर्भुजों की परिधि और क्षेत्रफल की गणना के सूत्रों पर चर्चा की जाएगी।

अनुदेश

एक आयत के विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 3 और 4 सेमी हैं।

आयत 32 + 42 = 9 + 16 = 25 की भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए।

प्राप्त परिणाम से वर्गमूल निकालें - विकर्ण की लंबाई 5 सेमी है।

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टिप्पणी

एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं। यदि एक की लंबाई पाई जाए, तो दूसरे की लंबाई ठीक वैसी ही होगी।

स्रोत:

• आयत में विकर्ण की लंबाई कैसे ज्ञात करें

एक वर्ग एक सुंदर और सरल सपाट ज्यामितीय आकृति है। यह समान भुजाओं वाला एक आयत है। कैसे ढूंढें विकर्ण वर्गयदि इसकी भुजा की लंबाई ज्ञात हो?

अनुदेश

विकर्ण लंबाई वर्गइसकी भुजा की लंबाई को दो से गुणा करने के बराबर है।

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मददगार सलाह

यदि गणितीय परिणाम की सटीकता बहुत महत्वपूर्ण नहीं है, तो दो की जड़ के बजाय, आप इसके अनुमानित मान 1.41 का उपयोग कर सकते हैं।

युक्ति 6: समांतर चतुर्भुज दिए गए भुजाओं का विकर्ण कैसे ज्ञात करें

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं। इसके सम्मुख कोणों को जोड़ने वाली रेखाएँ विकर्ण कहलाती हैं। उनकी लंबाई न केवल आकृति के किनारों की लंबाई पर निर्भर करती है, बल्कि इस बहुभुज के कोने पर भी कोणों पर निर्भर करती है, इसलिए, कम से कम एक कोण को जाने बिना, केवल विकर्णों की लंबाई की गणना करना संभव है अपवाद स्वरूप मामले। ये समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं - एक वर्ग और एक आयत।

अनुदेश

यदि किसी समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाओं की लंबाई समान (a) हो, तो इस आकृति को वर्ग भी कहा जा सकता है। इसके सभी कोणों का मान 90° है, और विकर्णों (L) की लंबाई समान है और एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसकी गणना की जा सकती है। भुजा की लंबाई को दो के मूल से गुणा करें - परिणाम इसके प्रत्येक विकर्ण की लंबाई होगी: L=a*√2।

यदि एक समांतर चतुर्भुज के बारे में यह ज्ञात है कि यह एक आयत है जिसकी लंबाई (ए) और चौड़ाई (बी) में निर्दिष्ट है, तो इस मामले में विकर्णों (एल) की लंबाई बराबर होगी। और यहाँ भी, एक त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें जिसमें कर्ण विकर्ण है, और पैर चतुर्भुज के दो आसन्न पक्ष हैं। वर्ग और आयत का मूल निकालकर वांछित मान की गणना करें: L=√(a²+b²)।

अन्य सभी मामलों के लिए, केवल पक्षों की लंबाई जानना केवल उस मान के लिए पर्याप्त है जिसमें एक साथ दोनों विकर्णों की लंबाई शामिल है - परिभाषा के अनुसार, उनके वर्गों का योग, लंबाई के वर्गों के योग के दोगुने के बराबर है पक्ष। यदि समांतर चतुर्भुज (ए और बी) के दो आसन्न पक्षों की लंबाई में उनके बीच का कोण (γ) भी जाना जाता है, तो यह हमें विपरीत कोणों को जोड़ने वाले प्रत्येक खंड की लंबाई की गणना करने की अनुमति देगा। कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात कोण के विपरीत विकर्ण (L₁) की लंबाई ज्ञात करें - आसन्न भुजाओं की लंबाई के वर्गों को जोड़ें, परिणाम से उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा समान लंबाई के उत्पाद को घटाएं, और निकालें परिणामी मान से वर्गमूल: L₁ \u003d √ (a² + b² -2*a*b*cos(γ))। एक अन्य विकर्ण (L₂) की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आप इस चरण की शुरुआत में दिए गए समांतर चतुर्भुज गुण का उपयोग कर सकते हैं - दोनों पक्षों की लंबाई के वर्गों के योग को दोगुना करें, पहले से गणना किए गए विकर्ण के वर्ग को परिणाम से घटाएं , और परिणामी मान से रूट निकालें। सामान्य शब्दों में, यह सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a² +b²- a²-b²+2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ))।

स्रोत:

• समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई कैसे ज्ञात करें

आप एक समांतर चतुर्भुज कह सकते हैं, जिसके विकर्ण आकृति के शीर्षों पर स्थित कोणों को समद्विभाजित करते हैं। इस गुण के अतिरिक्त, विकर्ण विषमकोणइस मायने में उल्लेखनीय हैं कि वे बहुभुज की समरूपता की कुल्हाड़ियों हैं, केवल समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, और एकमात्र सामान्य बिंदु उनमें से प्रत्येक को दो समान खंडों में विभाजित करता है। ये गुण विकर्णों में से एक की लंबाई की गणना करना आसान बनाते हैं यदि दूसरे की लंबाई ज्ञात हो और आकृति के कुछ अन्य पैरामीटर - पक्ष का आकार, किसी एक कोने पर कोण, क्षेत्र, आदि।

अनुदेश

यदि, (l) में से किसी एक की लंबाई के अलावा, विचाराधीन चतुर्भुज के बारे में यह ज्ञात हो कि यह एक विशेष मामला है विषमकोण- एक वर्ग, कोई गणना नहीं करनी होगी। इस मामले में, दोनों विकर्णों की लंबाई - बस वांछित मान (एल) को ज्ञात एक के बराबर करें: एल = एल।

एक भुजा की लंबाई जानना विषमकोण(ए) एक विकर्ण की लंबाई के अलावा (एल) पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दूसरे (एल) की लंबाई की अनुमति देगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रतिच्छेद करने वाले विकर्णों के दो भाग एक भुजा के साथ बनते हैं विषमकोणसही त्रिकोण। इसमें विकर्णों के आधे भाग पैर हैं, और पक्ष कर्ण है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से निम्नलिखित समानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है: a² = (l/2)² + (L/2)²। गणना में उपयोग के लिए, इसे इस रूप में परिवर्तित करें: L = (4 * a²-l²)।

किसी एक कोण के ज्ञात मान के साथ (α) विषमकोणऔर एक विकर्ण (l) की लंबाई दूसरे (L) का मान ज्ञात करने के लिए, उसी समकोण त्रिभुज पर विचार करें। इसमें ज्ञात कोण के आधे हिस्से की स्पर्शरेखा विपरीत पैर की लंबाई का अनुपात है - विकर्ण एल का आधा - आसन्न एक से - विकर्ण एल का आधा: टीजी (α / 2) \u003d (एल / 2 ) / (एल / 2) \u003d एल / एल। इसलिए, वांछित मान के लिए, सूत्र L = l/tg(α/2) का उपयोग करें।

यदि समस्या की स्थितियों में परिमाप (P) की लंबाई दी जाती है विषमकोणऔर इसके विकर्ण (एल) का आकार, दूसरे चरण (एल) की लंबाई की गणना के लिए सूत्र को दूसरे चरण में उपयोग की जाने वाली समानता तक कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, परिमाप को चार से विभाजित करें और भुजा की लंबाई को इस व्यंजक से बदलें: L = (4*(P/4)²-l²) = √(P²/4-l²)।

प्रारंभिक स्थितियों में, एक विकर्ण (l) की लंबाई के अलावा, आकृति का क्षेत्रफल (S) भी दिया जा सकता है। फिर दूसरे विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए विषमकोण(एल) एक बहुत ही सरल एल्गोरिदम का उपयोग करें - क्षेत्र को दोगुना करें और ज्ञात विकर्ण की लंबाई से विभाजित करें: एल = 2 * एस/एल।

आज हम एक ज्यामितीय आकृति पर विचार करेंगे - एक चतुर्भुज। इस आकृति के नाम से ही यह स्पष्ट हो जाता है कि इस आकृति के चार कोने हैं। लेकिन इस आकृति की बाकी विशेषताओं और गुणों पर हम नीचे विचार करेंगे।

चतुर्भुज क्या है

एक चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसमें चार बिंदु (शीर्ष) और चार खंड (भुजाएं) होते हैं जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं। एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों और उनके बीच के कोण का आधा गुणनफल होता है।

एक चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसमें चार शीर्ष होते हैं, जिनमें से तीन एक ही रेखा पर नहीं होते हैं।

चतुर्भुज के प्रकार

• एक चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़ी में समान्तर होती हैं, समांतर चतुर्भुज कहलाता है।
• एक चतुर्भुज जिसमें दो विपरीत पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो नहीं होते हैं, समलम्बाकार कहलाते हैं।
• सभी समकोणों वाला एक चतुर्भुज एक आयत है।
• एक चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ समान हों एक समचतुर्भुज होता है।
• एक चतुर्भुज जिसमें सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समकोण हों, वर्ग कहलाता है।

चतुर्भुज हो सकता है:

स्वयं का प्रतिच्छेदन

गैर उत्तल

उत्तल

स्व-प्रतिच्छेद करने वाला चतुर्भुजएक चतुर्भुज है जिसमें इसकी किसी भी भुजा का एक प्रतिच्छेदन बिंदु होता है (आकृति में नीले रंग में)।

गैर-उत्तल चतुर्भुजएक चतुर्भुज है जिसमें आंतरिक कोणों में से एक 180 डिग्री से अधिक है (आकृति में नारंगी में दर्शाया गया है)।

कोणों का योगकोई भी चतुर्भुज जो आत्म-प्रतिच्छेद नहीं करता है, हमेशा 360 डिग्री के बराबर होता है।

विशेष प्रकार के चतुर्भुज

चतुर्भुज में अतिरिक्त गुण हो सकते हैं, जिससे विशेष प्रकार की ज्यामितीय आकृतियाँ बनती हैं:

• चतुर्भुज
• आयत
• वर्ग
• ट्रापेज़
• त्रिभुजाकार
• प्रतिसमांतर चतुर्भुज

चतुर्भुज और वृत्त

एक वृत्त के चारों ओर उत्कीर्ण एक चतुर्भुज (एक चतुर्भुज में अंकित एक वृत्त)।

परिचालित चतुर्भुज की मुख्य संपत्ति:

एक चतुर्भुज को एक वृत्त के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग बराबर हो।

एक वृत्त में उत्कीर्ण चतुर्भुज (एक चतुर्भुज के चारों ओर खुदा हुआ वृत्त)

एक उत्कीर्ण चतुर्भुज की मुख्य संपत्ति:

एक चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री हो।

चतुर्भुज पक्ष लंबाई गुण

चतुर्भुज की किन्हीं दो भुजाओं का अंतर मापांकइसके अन्य दो पक्षों के योग से अधिक नहीं है।

|ए - बी| ≤ सी + डी

|ए - सी| बी + डी

|ए - डी| ≤ बी + सी

|बी - सी| ए + डी

|बी - डी| ए + बी

|सी - डी| ए + बी

जरूरी. असमानता चतुर्भुज की भुजाओं के किसी भी संयोजन के लिए सत्य है। आंकड़ा केवल समझने में आसानी के लिए प्रदान किया गया है।

किसी भी चतुर्भुज में इसकी तीनों भुजाओं की लंबाई का योग चौथी भुजा की लंबाई से कम नहीं है.

जरूरी. स्कूली पाठ्यक्रम में समस्याओं को हल करते समय, आप सख्त असमानता का उपयोग कर सकते हैं (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

आपके ब्राउजर में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
गणना करने के लिए ActiveX नियंत्रण सक्षम होना चाहिए!

चतुर्भुज ABCDएक आकृति एक आकृति कहलाती है जिसमें चार बिंदु A, B, C, D, तीन-तीन, एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और चार खंड AB, BC, CD और AD इन बिंदुओं को जोड़ते हैं।

आंकड़े चतुर्भुज दिखाते हैं।

बिंदु A, B, C और D कहलाते हैं चतुर्भुज के शीर्ष, और खंड AB, BC, CD और AD - दलों. शीर्ष A और C, B और D कहलाते हैं विपरीत शीर्ष. भुजाएँ AB और CD, BC और AD कहलाती हैं विपरीत दिशाएं.

चतुर्भुज होते हैं उत्तल(आकृति में - बाएं) और गैर उत्तल(आंकड़े में - दाएं)।

प्रत्येक विकर्ण उत्तल चतुर्भुजइसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है(विकर्ण AC, ABCD को दो त्रिभुजों ABC और ACD में विभाजित करता है; विकर्ण BD दो त्रिभुजों BCD और BAD में विभाजित होता है)। पर गैर-उत्तल चतुर्भुजविकर्णों में से केवल एक ही इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है(विकर्ण AC, ABCD को दो त्रिभुजों ABC और ACD में विभाजित करता है; विकर्ण BD नहीं करता है)।

विचार करना मुख्य प्रकार के चतुर्भुज, उनके गुण, क्षेत्रफल सूत्र:

चतुर्भुज

चतुर्भुजएक चतुर्भुज कहलाता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़ीवार समानांतर होती हैं।

गुण:

समांतर चतुर्भुज की विशेषताएं:

1. यदि किसी चतुर्भुज में दो भुजाएँ समान और समानांतर हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
2. यदि किसी चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ युग्मों में बराबर हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
3. यदि किसी चतुर्भुज में विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

समांतर चतुर्भुज क्षेत्र:

ट्रापेज़

ट्रापेज़एक चतुर्भुज एक चतुर्भुज कहलाता है जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो भुजाएँ समानांतर नहीं होती हैं।

मैदानसमानांतर भुजाएँ कहलाती हैं, और अन्य दो भुजाएँ कहलाती हैं पक्षों.

मध्य पंक्तिएक समलम्ब चतुर्भुज एक खंड कहलाता है जो इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ता है।

प्रमेय।

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है।

ट्रेपेज़ियम क्षेत्र:

विषमकोण

विषमकोणएक समांतर चतुर्भुज कहा जाता है यदि सभी पक्ष समान हों।

गुण:

समचतुर्भुज क्षेत्र:

आयत

आयतएक समांतर चतुर्भुज कहलाता है जिसमें सभी कोण बराबर होते हैं।

गुण:

आयत चिह्न:

यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।

आयत क्षेत्र:

वर्ग

वर्गएक आयत कहलाता है जिसमें सभी भुजाएँ समान होती हैं।

गुण:

एक वर्ग में एक आयत और एक समचतुर्भुज के सभी गुण होते हैं (एक आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है, इसलिए एक वर्ग एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं, अर्थात एक समचतुर्भुज)।

वर्गाकार क्षेत्र:

समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होने के लिए क्या होना चाहिए?

समचतुर्भुज और समांतर चतुर्भुज क्या होता है?

समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कौन होते हैं?

समांतर चतुर्भुज का फार्मूला क्या होता है?