गणित का विज्ञान के साथ क्या सम्बन्ध है? - ganit ka vigyaan ke saath kya sambandh hai?

भौतिकी का गणित से क्या संबंध है तो दोस्तों बहुत ही हकीकत संबंधाम गणित से देख रहे तो यहां पर क्या बता सकते हैं कि बहुत ही की पूरी तरीके से गणित पर निर्भर है हालांकि गणित भौतिकी पर निर्भर नहीं करता ठीक है गणित क्या है घटना है और घटना जो है वह भौतिक विज्ञान पर निर्भर नहीं करता लेकिन अगर हम बहुत ही की विज्ञान का अध्ययन करेंगे ठीक है तो किसी भी पदार्थ या प्रकृति के भौतिक अवस्था का यहां पर अध्ययन करेंगे और उस भौतिक अवस्था को व्यक्त करने के लिए अथवा गणना करने के लिए बिना गणित के संभव है नहीं है ठीक है तो भौतिकी विज्ञान का कुछ भी चीज का अगर हम अनुमान लगाया आकलन करें गन्ना करे समाकलन तेरे जो भी करें गणित का आना अनिवार्य है ठीक है दोस्तों अगर हमको गणित नहीं आता तो हमको भौतिक ही नहीं आती यह भी हम कह सकते हैं ठीक है क्योंकि पूरी तरीके से गणित से संबंधित है भौतिकी ठीक भौतिकी विज्ञान में विभिन्न अनुप्रयोगों समस्या आंकड़ों प्रायिकता व भौतिक अवस्था एवं भौतिक राशियों को भी विमाओं को भी और अधिक

राशि ज्योति उनको समझने तथा प्रदर्शित करने के लिए अब जो हम यहां पर दोस्तों भौतिक में समझ रहे हो उसको सामने वाले को समझाना चाहते हैं तो हम गणित का अत्यंत प्रयोग करेंगे ठीक है गरीब की अत्यंत आवश्यक होगी बिना घड़ी के हम जो भी छोरी देंगे जो भी सिद्धांत देंगे उसको समझना जो है दोस्तों वह नागवार गुजरता है ठीक है यह सब आसानी से समझ नहीं आएगी जब तक हम इसको घड़ी थी रूप में ना समझे ठीक है या फिर सूत्र ना देश का और सूत्र भी कहां से प्राप्त होता है दोस्तों गणिती रूप से ठीक है विवेचना कहां से करते गणिती से ठीक है समा कल आना कल यह सारी चीजें गणित से ही हम कर पाते क्योंकि यह सारी चीजें क्या है दोस्तों गणित की तो देन है ठीक है अब इसके बाद बात कर लेते भौतिकी विज्ञान में गणित से संबंध का तो हम यहां तक कह सकते कि भौतिक विज्ञान गणित की ऐसी शाखा है जहां पर हम विभिन्न पदार्थों वस्तु पर कृतियों के भौतिक अवस्था का अध्ययन करते हैं ठीक है तो बहुत ही को भी गणित की एक शाखा माना जा सकता है क्योंकि बहुत ही में हम सिर्फ बहुत ही

कम अध्ययन नहीं करते उस में गणित का अनुप्रयोग भी करते हैं ठीक है दोस्तों से ही दिए गए प्रश्न के लिए हमारा भौतिकी और गणित के लिए संबंध था धन्यवाद

“यथा शिखा मयूराणां, नागानां मणयो यथा।
तद्वद् वेदांगशास्त्राणां गणितं मूर्धनि स्थितम्॥”

अर्थात्, जैसे मोरों की कलगी और नागों में मणि की स्थिति सबसे ऊपर मूर्धा पर है, वैसे ही वेदांग शास्त्रों में गणित का स्थान है। कुछ लोग मानते हैं कि ईश्वर एक गणितज्ञ है, या शायद वह एक गणितज्ञ के आदेश पर काम करता है। महान जर्मन गणितज्ञ गाउस का मत था कि गणित विज्ञान के विषयों की साम्राज्ञी है|

वेदांग से लिए गए श्लोक से हमें लगेगा कि यह हमारे पूर्वज ऋषियों के संचित ज्ञान का सार है जो हमें विरासत में मिला है और गणित के बारे में ऐसी सोच शायद उस समय की सर्वसम्मत मान्यता थी। फिर भी, हम यह पूछ सकते हैं कि प्राचीन या मध्यकालीन भारत में, किसी भी एक समय पर, कितने लोगों को गणितज्ञ कहा जा सकता था। यहाँ हम किसी ऐसे व्यक्ति या महिला को गणितज्ञ कहेंगे जो न केवल भास्कराचार्य या माधव का नाम जानता/जानती हो, बल्कि उनके काम से भी परिचित हो, और इसे किसी छात्र को समझा सके, चाहे उसने अपने आप गणित पर कोई ग्रन्थ न लिखा हो। यह संख्या 5 के आसपास होगी, या 50 के आसपास, या फिर 500 के आसपास? इस विषय पर हमारे इतिहास के जानकार लोगों के अनुसार, यह संख्या 5 के निकट होने की सम्भावना अधिक है, न कि 50 के निकट। अतः, हमें यह मानना पड़ेगा कि यद्यपि वेदांग में उपरोक्त श्लोक जैसा कुछ कहा गया है और भारतीय गणितज्ञों की कई बड़ी जानी-मानी और प्रसिद्ध उपलब्धियाँ हैं, भारतीय दर्शन परम्परा में व्यवहारिक रूप में गणित को इतना ऊँचा दर्जा नहीं दिया गया। गाउस का कथन शायद उनके विचारों को ठीक ही व्यक्त करता है, पर उसे निष्पक्ष तो नहीं कहा जा सकता। इस लेख में हम गणित के मानवीय ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के साथ सम्बन्ध पर नारेबाज़ी और पूर्वाग्रह से मुक्त एक नज़र डालना चाहते हैं।

चलिए, हम अपनी बात इस प्रश्न से शुरू करते हैं: क्या गणित के अंक π का अब से एक लाख वर्ष पूर्व कोई अस्तित्व था? मेरा अनुमान है कि अधिकांश पाठक सोच रहे हैं, “हाँ, बेशक।” यहाँ पर मैं यह कहना चाहूँगा कि यह मामला इतना साफ नहीं है, यदि आप इस विषय पर कुछ देर सोचने के बाद उत्तर दें।

पहले तो यह समझना ज़रूरी है कि यहाँ ‘अस्तित्व’ शब्द का क्या अर्थ है। यह तो स्पष्ट है कि अंक π कोई भौतिक वस्तु, जैसे मेज़ या बृहस्पति ग्रह, नहीं है। अतः, अंक π का अस्तित्व उसी अर्थ में तो नहीं हो सकता है जिस अर्थ में मेज़ का अस्तित्व है। भौतिक वस्तुओं का कुछ द्रव्यमान होता है, और वे कुछ समय के लिए अन्तरिक्ष में कुछ सुनिश्चित स्थान घेरती हैं । अंक π एक मानसिक निर्मिति (मेंटल कन्सट्रक्ट) है और इसका अस्तित्व केवल एक मानसिक निर्मिति जैसा हो सकता है ।

उदाहरण के तौर पर, मैं किसी आठ सर वाले ज़ेब्रा की बात करूँ। इस तरह का कोई पशु जगत में कहीं नहीं है। पर, इन शब्दों को एक साथ लाकर मैंने एक मानसिक निर्मिति बना ली, और अब विचारों के संसार में इस विचार का अस्तित्व शुरू हो जाता है। अब इस तरह के ज़ेब्राओं के कुछ गुण-धर्म हम स्थापित कर सकते हैं। जैसे, अगर हम पूछें कि ऐसे आठ सर वाले ज़ेब्रा की कितनी आँखें होती हैं? तो उत्तर है कि सोलह क्योंकि हर एक सर पर दो आँखें हैं।

जो बात आठ सर वाले ज़ेब्रा के सम्बन्ध में सच है, वही बात युक्लिडीय ज्यामिति की संरचनाओं, जैसे त्रुटिहीन वृत्त (perfect circle) पर भी लागू होती हैं। भौतिक जगत में कहीं भी कोई त्रुटिहीन वृत्त नहीं मिलेगा। पर त्रुटिहीन वृत्त के सम्बन्ध में अनेक प्रमेय इसकी परिभाषा का प्रयोग करके ही स्थापित किए जा सकते हैं, जैसा कि ज्यामिति की पाठ्यपुस्तकों में किया जाता है।
सन् 1960 ईसवी में भौतिक विज्ञानी विगनेर ने एक लेख लिखा था जिसका शीर्षक था ‘प्राकृतिक विज्ञान में गणित की अनपेक्षित उपयोगिता।4 यह लेख विज्ञान सम्बन्धी दार्शनिक प्रश्नों के विचारकों के बीच बहुत विचार-विमर्श और चर्चा का विषय बना। विगनेर द्वारा प्रस्तुत विचारों का विस्तृत विश्लेषण किया गया, और उन पर अनेक टिप्पणियाँ लिखी गईं। इनमें से एक थी हैमिंग की टिप्पणी, और उनकी बात को आगे बढ़ाकर एडिलेड विश्वविद्यालय में प्रोफेसर डैरेक एबट ने एक लेख लिखा, जिसका शीर्षक था ‘गणित की अपेक्षित अनुपयोगिता’|5 इस लेख को पढ़ने पर मुझे एबट की दलीलें सही लगीं और अपने नज़रिए को बदलना पड़ा। इस लेख के माध्यम से, मैं इस बदले नज़रिए का प्रचार करना चाहता हूँ।

उदाहरण के तौर पर, ओम के नियम के लिए ख्यातिप्राप्त वैज्ञानिक जॉर्ज ओम, ने बिजली के तारों में विद्युत प्रवाह विषय पर लिखी अपनी पुस्तक में कहा कि उनका विश्वास है कि उनकी शोध भौतिक विज्ञान के एक क्षेत्र को गणित का भाग बना देगी, जो अब तक गणित का भाग नहीं था।6 यह बात अब से लगभग दो सौ वर्ष पूर्व ही लिखी गई थी, पर यह बात आज के पाठक को काफी अटपटी लगती है। ओम का नियम तो भौतिक विज्ञान का नियम है। यह गणित का भाग कब से हो गया? स्पष्ट रूप से, ओम द्वारा प्रयुक्त गणित शब्द का अर्थ आज के प्रयोग से भिन्न है। हमें स्पष्ट करना पड़ेगा कि हम किस ‘गणित’ की बात कर रहे हैं।

मेरा अनुमान है कि ओम ने ‘गणित’ का उसी अर्थ में प्रयोग किया जिस अर्थ में आज के कुछ विद्यार्थी करते हैं जब वे कहते हैं कि समीकरण ‘s=(gt2)/2’ तो गणित है पर इसी का समानार्थी वाक्य ‘मुक्त रूप से गिरते हुए पिण्ड के लिए त्वरण अचर है’ गणित नहीं है। यहाँ पर ये विद्यार्थी भौतिक शास्त्र के नियमों के वर्णन में समीकरणों के उपयोग को गणित कहते हैं। पर यह सिर्फ गणित की भाषा का प्रयोग है; वर्णन का विषय गणित नहीं है। हम ‘गणित’ शब्द का प्रयोग इस अर्थ में नहीं करेंगे।
विगनेर द्वारा दी गई गणित की व्याख्या को समझना कुछ कठिन है: “गणित, कुछ विशेष परिभाषित नियम और उन पर कुशल संक्रियाओं का विज्ञान है।”* इन संरचनाओं और संक्रियाओं के उदाहरण के तौर पर विगनेर सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers), बीजगणित, और रेखीय ऑपरेटर्स (linear operators) का उल्लेख करते हैं। वह यह भी ध्यान दिलाते हैं कि कौन-सी निर्मितियाँ उपयोगी सिद्ध होंगी, इसका पता गणित के स्वयंसिद्ध सत्य (एग्ज़ीयम्स) द्वारा नहीं किया जा सकता। गणित की विज्ञान में उपयोगिता के लिए इस चयन का सही होना आवश्यक है, और यह चयन गणित के ढाँचे से बाहर है। “गणितज्ञ, इस प्रकार की अतिरिक्त निर्मितियों के बिना केवल कुछ मुठ्ठी भर रुचिकर प्रमेयों की ही स्थापना कर पाएगा।” इन निर्मितियों की उपयोगिता का पूरा श्रेय सिर्फ गणित को देना ठीक नहीं लगता।

विज्ञान के सम्बन्ध में विगनेर नोट करते हैं कि, हमारे चारों तरफ फैला जगत ज़्यादातर समझ के परे है, पर इस सिरदर्द देने वाली जटिलता के बीच कुछ नियम देखे जा सकते हैं। यह ही प्रकृति के नियम हैं, जैसे ग्रहों की गति से सम्बन्धित केपलर के नियम। विगनेर के अनुसार, यह चमत्कार ही है, और पूरी तरह से अनपेक्षित है, कि ऐसे कुछ नियम हैं और वे सब जगह, सब समय लागू रहते हैं। इससे भी अधिक विस्मय की बात है कि मनुष्य इन नियमों को खोज पाता है। इन नियमों के अध्ययन को ही विगनेर विज्ञान कहते हैं।
इस लेख के प्रारम्भ में दिए गैलिलियो के कथन के विषय में विगनेर कहते हैं, “एक भौतिकशास्त्री प्रकृति के नियमों को प्रतिपादित करने में कुछ गणितीय निर्मितियों का प्रयोग करता है, और गणितज्ञों द्वारा अध्ययन की गई निर्मितियों का केवल एक छोटा-सा भाग ही भौतिक विज्ञान में प्रयोग किया गया है। भौतिक विज्ञान में वैज्ञानिक द्वारा प्रकृति के अनुमानित नियमों के गणित की भाषा में प्रतिपादन को कई बार आश्चर्यजनक सफलता मिली है।”
वह इस आश्चर्यजनक सफलता के उदाहरण के तौर पर क्वाण्टम मैकेनिक्स में हीलियम परमाणु की निम्नतम उर्जा और लैम्ब शिफ्ट के आकलन का ज़िक्र करते हैं और कहते हैं कि, “भौतिक विज्ञान के नियमों के प्रतिपादन में गणित की उपयोगिता हमारे लिए चमत्कार और दैवी भेंट है जिसे न तो हम ठीक से समझते हैं और न ही हम उसके योग्य हैं। हमें इसका आभारी होना चाहिए और आशा करनी चाहिए कि यह भविष्य में भी कारगर रहेगी।”

इस विचार श्रखला के अनुसार, गणितीय आकार और संरचनाएँ, जैसे कि पूर्णांक इस वास्तविक बाह्य संसार का अंश हैं और उनका अस्तित्व है, चाहे कोई छाया को देखे या न देखे। इसी तरह, गणितीय अंकों, जैसे 7 और π का अस्तित्व तब भी था जब मानव जाति पृथ्वी पर अस्तित्व में भी नहीं थी। मैंने लेख की शुरुआत में एक लाख वर्ष का अन्तराल इसीलिए चुना था। यह अन्तराल बिग बैंग की आयु या पृथ्वी की आयु से बहुत कम है (पृथ्वी की आयु लगभग 400 करोड़ वर्ष है)। अब से एक लाख वर्ष पहले अधिकतर डायनासॉर मर चुके थे, पर मानव जाति और अन्य वानरों में ज़्यादा फर्क नहीं था।

इसके विपरीत दृष्टिकोण है कि हमारा सारा गणित मानव जाति के सांस्कृतिक विकास का ही फल है। गणित के सारे आकार और निर्मितियाँ भौतिक जगत के वर्णन के लिए मनुष्य द्वारा ही बनाई गई हैं। किसी प्लेटोविरोधी के मतानुसार, इस अखिल ब्रम्हाण्ड में कोई भी त्रुटिहीन वृत्त नहीं है, और अंक πसिर्फ एक उपयोगी मानसिक निर्मिति है।

एबट के अनुसार, उनके अनुमान में गणितज्ञों में लगभग 80 प्रतिशत लोग प्लेटोवादी होते हैं, पर इंजीनियरिंग या तकनीकी क्षेत्रों में काम करने वाले अक्सर प्लेटोविरोधी होते हैं। वह कहते हैं कि भौतिकी के वैज्ञानिक अक्सर ‘छुपे हुए प्लेटोविरोधी’ होते हैं: ऊपरी दिखावे में औरों के सामने वे अपने को प्लेटोवादी कहते हैं, पर अपने दिल में उनका विश्वास इस बात पर पक्का नहीं है।
गणित की अनपेक्षित उपयोगिता के विषय में एबट का मत है कि हमारे संसार की अधिकांश समस्याओं को समझने या उनके हल की खोज में गणित बहुत अधिक सफल नहीं है। यह सफलता प्रभावशाली तभी दिखती है जब हम केवल उन उदाहरणों पर ध्यान केन्द्रित करें जहाँ पर वह सफल रही है। जीव विज्ञान के वर्णन में गणित की उपयोगिता बहुत ज़्यादा नहीं है; मनोविज्ञान और समाजशास्त्र में तो और भी कम। हमने बहुत-से निराशाजनक उदाहरणों को छोड़, सारा ध्यान उन बहुत कम संख्या के उदाहरणों पर सीमित कर लिया है जहाँ गणित उपयोगी रहा है।

मेरा दृष्टिकोण
यदि गणित मनुष्य के अस्तित्व पर निर्भर नहीं है, तो हम यह देखने की कोशिश कर सकते हैं  कि अन्य जन्तुओं जैसे कीड़े-मकोड़े, मेंढक, चिड़ियों या कुत्ते-बिल्लियों के जीवन में गणित का क्या रोल है या क्या रोल था। यही कारण है कि मैंने इस लेख की शुरुआत में ही एक लाख वर्ष पहले का समय चुना।
यदि कीड़ों और बैक्टीरिया की बात करें, यह कह पाना कठिन है कि गणित का उनके जीवन में कुछ रोल है। अगर पक्षियों की बात करें, तो उनके दिमाग का आकार कुछ बड़ा होता है और नर-मादा साथ-साथ रहकर बच्चों की देखभाल करते हैं। पक्षियों की कुछ प्रजातियों के बारे में देखा गया है कि यदि उनके घोंसले से एक अण्डा हटा दें, तो वे उत्तेजित हो गए दिखते हैं। इस बात से हम कह सकते हैं कि ये पक्षी दो अण्डों या तीन अण्डों में फर्क पहचान सकते हैं और इस आधार पर यह भी कह सकते हैं के वे तीन या चार की गिनती करना भी जानते हैं। चिड़ियों के मानसिक या भौतिक जीवन में गणित का इससे अधिक क्या रोल हो सकता है, इसकी कल्पना भी कठिन ही है।

अन्य जन्तुओं के जीवन में गणित के सम्भव रोल की चर्चा करने के पहले, यह उपयोगी होगा कि हम गणित के विभिन्न स्तरों के मध्य फर्क कर लें।
गणित के प्रयोग का सबसे पहला स्तर है, जिसे मैं गणित-पूर्व स्तर कहूँगा, अंकों और आकारों को पहचानने की जन्मजात क्षमता और गति के अनुमान की क्षमता। यह क्षमता मनुष्यों में ही नहीं, अन्य पशुओं में भी मिलती है। यह जैव-विकास का परिणाम है। यह जन्तुओं को अपने परिवेश में चलने-फिरने में, शिकार पकड़ने में, और शिकार बनने से बचने में काम आती है। इन सब कामों में यह स्पष्ट रूप से बहुत उपयोगी है। शायद जन्तुओं द्वारा प्रयुक्त गणित इस स्तर से बहुत आगे नहीं जाता है। इन जन्तुओं में मैं स्तनधारी जन्तु जैसे कुत्ते, घोड़े और यहाँ तक कि, वानरों को भी शामिल कर रहा हूँ।
गणित का दूसरा स्तर प्राथमिक कक्षाओं में बच्चों को पढ़ाया जाने वाला गणित है। इसमें पूर्णांक या भिन्नों को जोड़ने, गुणा करने इत्यादि जैसी कुछ सामान्य संक्रियाएँ शामिल हैं और इसके अतिरिक्त कुछ भी नहीं।

इसके ऊपर के स्तर को मैं उच्चतर गणित कहूँगा। इसमें वह सब विषयवस्तु शामिल है, जिन्हें निचले स्तरों में नहीं लिया गया। स्पष्टतः, विभिन्न स्तरों की सीमाएँ निश्चित करने में हमें कुछ हद तक चयन की स्वतंत्रता है। उदाहरण के तौर पर, मैंने अवकलन या समाकलन (differentiation or integration) को तृतीय स्तर में शामिल नहीं किया पर मैं कर सकता था ।
जैव विज्ञानी जानते हैं कि मनुष्य के अलावा अन्य जन्तुओं में द्वितीय स्तर के गणित के प्रयोग का कोई विश्वसनीय प्रमाण अब तक नहीं मिला है। इस स्थिति में, यह कहना मुश्किल है कि मानव-हीन जगत में हम किस गणित की बात कर सकते हैं! (किसी और ग्रह में रहने वाले अतिविकसित क्लिंगॉन जाति के लोग कैसा गणित प्रयोग करते होंगे, इस विषय की चर्चा हम विज्ञान-गल्प के पाठकों के लिए छोड़ देते हैं।)

ग्रहों की कक्षाओं में दीर्घवृत्त को देखना, इसकी सन्निकटता और आदर्श प्रतिरूप ढूँढ़ना (approximation and idealization) भी इसी प्रवृत्ति का उदाहरण है। फिर भी, शायद हिरण में इस सामर्थ्य को गणित कहना ठीक नहीं होगा। मुझे लगता है कि विगनेर जिस ‘गणित की अनपेक्षित उपयोगिता’ की बात कर रहे थे, वह उच्चतर गणित था। जीव विज्ञान, मनोविज्ञान और भूगर्भ विज्ञान जैसे क्षेत्रों में गणित बहुत ज़्यादा उपयोगी नहीं है। अतः, मैं मान लेता हूँ कि यद्यपि विगनेर ‘विज्ञान’ की बात कर रहे थे, वे मुख्यतः भौतिक विज्ञान के बारे में ही सोच रहे थे। भौतिक विज्ञान में भी, कई क्षेत्रों में हम गणित के उपयोगी होने की आशा कर सकते हैं, जैसे क्रिकेट के खेल में आने वाली बॉल की गति के अनुमान के लिए। पर यह जानने के लिए कि क्रिकेट के खेल में गणित बहुत उपयोगी नहीं है, आपके लिए तेंदुलकर या कोहली होना ज़रूरी नहीं है। मैं एबट से पूरी तरह से सहमत हूँ कि गणित की अनपेक्षित उपयोगिता, अपने विचारक्षेत्र को बहुत सीमित करने का ही परिणाम है। यदि हम केवल उन विषयों की बात करें, जहाँ गणित बहुत उपयोगी है, तो यह उपयोगिता तो अपेक्षित ही है, अनपेक्षित नहीं।

इससे पहले हमने समीकरण s=(gt2)/2 की बात की थी। इस समीकरण में अन्तर्निहित एक महत्वपूर्ण पूर्वधारणा (assumption) है कि चली गई दूरी को एक वास्तविक संख्या (real number) द्वारा अभिव्यक्त किया जा सकता है। सवाल उठता है कि हवा में उड़ती हुई एक बॉल द्वारा चली गई दूरी के बारे में क्या यह सच है? यदि दूरी को सेंटीमीटर में लिखें, तो क्या इसे दशमलव के 15वें स्थान तक निर्धारित करना सम्भव है? यहाँ हम प्लांक लेन्थ स्केल (10-35 मीटर) की बात नहीं कर रहे हैं जब गुरुत्वाकर्षण के क्वाण्टम सिद्धान्त के अनुसार अन्तरिक्ष की संरचना में बहुत फर्क आ जाता है। फिर भी, यह एक परमाणु के आकार का भी 105वाँ अंश है। थोड़ा-सा सोचने पर हम यह समझ पाएँगे कि इस परिशुद्धता तक बॉल के द्रव्यमान केन्द्र की परिभाषा भी कठिन है। उसको उपकरणों द्वारा नापने की तो बात ही छोड़ दें। बॉल परमाणु उष्मीय गति के कारण इधर-उधर हिलते-डुलते रहते हैं और इस गति का आयाम 10-11 मीटर है। जब बॉल हवा में चलती है, तो हवा के साथ घिसने के कारण कुछ परमाणु बॉल से अलग होकर हवा के साथ बह जाते हैं, और यह कहना मुश्किल है कि द्रव्यमान केन्द्र के आकलन में इनका भी योगदान होना चाहिए या नहीं। हम यहाँ इसी बात के महत्व को दिखा रहे हैं कि हम भौतिक जगत की समस्या का सरलीकरण करते हैं और उसका एक आदर्श प्रतिरूप (idealized model) बनाते हैं जिसमें चली गई दूरी को एक वास्तविक संख्या द्वारा निरूपित करते हैं। इसके बाद ही कुछ गणित की युक्तियों द्वारा इस सरलीकृत प्रश्न का हल निकाला जा सकता है।

विगनेर इस बात की गम्भीरता से वाकिफ थे कि जिन प्रश्नों का हल गणित की मदद से मिल सकता है, वे सब सम्भव प्रश्नों का एक छोटा-सा अंश हैं। उसी लेख में विगनेर ने लिखा, “प्रकृति के समस्त नियम कुछ कथन हैं जो वर्तमान की स्थिति की कुछ जानकारी के आधार पर आगे भविष्य में क्या होगा, इस की जानकारी देते हैं। लेकिन वर्तमान स्थिति ऐसी क्यों है? संसार की वर्तमान स्थिति, जैसे कि पृथ्वी ग्रह का वेग कितना है, और सूरज क्यों है और हमारे चारों ओर का जगत ऐसा क्यों है, इस विषय में प्रकृति के नियम कुछ नहीं कहते।”
अब मैं प्लेटोवादी विश्व में अस्तित्व के अर्थ की बात करूँगा। हमारा विश्वास कि सामने रखी मेज़ का अस्तित्व है, उसको देखने और छूने के हमारी ज्ञानेन्द्रियों के अनुभव पर आधारित है। यह प्रत्यक्ष इन्द्रियजनित अनुभव नए अधिक संवेदनशील उपकरणों जैसे सूक्ष्मदर्शी, एक्स-रे कैमरा, रासायनिक सेंसरों और पार्टिकिल कोलाइडर आदि से आवश्यकतानुसार और बढ़ाया जा सकता है। विज्ञान इस भौतिक जगत की वस्तुओं जैसे मेज़ या बृहस्पति ग्रह या हिग्स बोसॉन के बारे में बात करता है। प्लेटो ने एक बहुत ही भ्रामक उपमा का प्रयोग किया था, और गुफावासियों के छाया सम्बन्धी अनुमान को छायाओं से ऊँचा दर्ज़ा दिया। हम चाहें तो मेज़ के विचार को मेज़ से ज़्यादा ऊँचा दर्ज़ा दे सकते हैं। पर क्या इससे मेज़ के विचार का अस्तित्व मेज़ से अधिक वास्तविक हो जाएगा?

समापन
गणित और भौतिक विज्ञान के बीच सम्बन्धों की बात गणितशास्त्रीयों और वैज्ञानिकों के बीच के संवाद की बात किए बिना अधूरी रह जाएगी। यहाँ मैं चेन निंग यांग द्वारा वर्णित कहानी को पुनः दोहराना चाहूँगा। यह एक भौतिक विज्ञानी के बारे में है जो वैज्ञानिक सम्मेलनों में भाग लेने, और अलग-अलग जगहों पर भाषण देने के लिए पूरे अमेरिका में घूम रहा है। वह एक विश्वविद्यालय से जुड़े छोटे शहर में आता है, एक होटल में ठहरता है और अपने गन्दे कपड़ों को धोने के लिए उन्हें एक झोले में लेकर उपयुक्त लॉण्ड्री की तलाश में अपरिचित सड़कों और गलियों में भटक रहा है। काफी दूर इधर-उधर पैदल भटकने के बाद अन्ततः उसे एक दुकान दिखाई पड़ती है जिस पर साइनबोर्ड लटका है, ‘यहाँ कपड़े धोए जाते हैं’। कुछ राहत महसूस करता वह दुकान के अन्दर घुसता है और अपने गन्दे कपड़ों से भरे झोले को दुकाने के काउण्टर पर रख देता है। काउण्टर के दूसरी तरफ कुछ चीनी जैसी शकल-सूरत का आदमी बैठा होता है। वह कुछ रूखेपन से पूछता है, “तुम्हें क्या चाहिए?” वैज्ञानिक कहता है, “मुझे अपने ये कपड़े धुलवाने हैं।” दुकान के काउण्टर पर बैठा चीनी आदमी कहता है, “हम यहाँ कोई कपड़े नहीं धोते हैं।” वैज्ञानिक को बहुत गुस्सा आता है और वह दुकान पर लटके साइनबोर्ड की तरफ इशारा करके कहता है, “लेकिन यहाँ तो साफ-साफ लिखा है कि यहाँ कपड़े धोए जाते हैं।” काउण्टर के पीछे बैठा चीनी व्यक्ति मुस्कुराता है, “अरे! वह…। यहाँ पर हम सिर्फ साइनबोर्ड बनाते हैं।”

मुझे यह कहानी पसन्द है क्योंकि यह भौतिकी के वैज्ञानिकों की गणितज्ञों से अपेक्षित मदद न मिलने पर उनके मन में पैदा हुई कुण्ठा को दिखाती है। अक्सर किसी भी प्रश्न पर गणितज्ञों और भौतिक वैज्ञानिकों के सोचने का ढंग अलग होता है।
अब इस लेख के शुरू में π के अस्तित्व के बारे में उठाए प्रश्न पर लौटते हैं। मैंने आपको समझाने का प्रयास किया है कि इस प्रश्न का उत्तर ‘नहीं’ ही होना चाहिए। एक मानसिक अवधारणा का अस्तित्व तब ही कहा जा सकता है जब इसे किसी ने पहली बार सोचा हो। इससे भी पहले इसके अस्तित्व का कोई अर्थ नहीं है। जो बात यहाँ  के लिए कही गई, वही गणित की अन्य जटिलतर निर्मितियों और संरचनाओं के लिए भी सच है। इस वृहत्तर थीसिस पर विभिन्न पहलुओं और दृष्टिकोणों से चर्चा के लिए पुस्तक7 में उपलब्ध निबन्धों के संग्रह को देखें। यह इंटरनेट पर निःशुल्क उपलब्ध है। शायद आपने महान गणितज्ञ क्रोनेकर का यह कथन पढ़ा होगा, “ईश्वर ने सिर्फ पूर्णांक बनाए। बाकी सब गणित मनुष्य का बनाया हुआ है।” लेकिन मुझे लगता है कि ईश्वर भी मनुष्य की बनाई हुई निर्मिति है। मैं इसी निबन्ध संग्रह में छपे एस. वेनमैकर्स8 द्वारा लिखे एक निबन्ध की दो पंक्तियों के साथ इस लेख का अन्त करता हूँ:
“भौतिक विज्ञान के नियम गणित की मदद से अभिव्यक्त किए जा सकते हैं; यह इसी बात का द्योतक है कि नियमितताओं का (यह) विवरण हमारा ही बनाया हुआ है। जब हम प्रकृति की किताब को, जिसकी बात गैलिलियो ने की थी, खोलते हैं, तो उसे अपनी ही हस्तलिपि से भरा पाते हैं।”

विज्ञान और गणित में क्या संबंध है?

विज्ञान में गणित का क्या महत्व है?

गणित कौन सा विज्ञान है?